химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ереход, действует в течение конечного промежутка времени, скажем, от / = 0 до t = T. Вне этого промежутка полная энергия является интегралом движения и может быть определена путем надлежащих измерений (см. §§111 и 112). Решение уравнения Шредингера, определяющего ajjjx, t) по i|) (х, 0), представляет большие трудности. Результаты, имеющие общее значение, могут быть получены лишь в тех случаях, когда переходы с одного уровня на другой вызываются слабыми воздействиями, так что эти воздействия можно рассматривать как возмущение.

При этом условии уравнение Шредингера может быть написано в виде

1Й§ = + 0*. (83.1)

где Н°(х) есть оператор полной энергии системы в отсутствие возмущения, a W (х, /) —возмущение. При малом возмущении

оператор Н°(х) можно рассматривать как оператор полной энергии, и поэтому в этом специальном случае включение и выключение W (х, t) имеют второстепенное значение.

Для нахождения вероятности перехода Pmn(t) с уровня Еп на уровень Ет обратимся к представлению взаимодействия (см. § 45). В этом представлении решение уравнения (83.1) ищется, согласно (45.6), в виде

4>(х, 0=<Г*Яо'ф(*, t). <83'2)

В дальнейшем удобно перейти от «^-представления к энергетическому «?»-представлению. Для этого разложим искомую функцию Ф (*, t) в ряд по собственным функциям ifo (х) оператора Я0:

и

Подставим это разложение и формулу (83.2) в уравнение (83.1). Умножая результат слева на (х) и интегрируя по получим уравнение Шредингера в представлении взаимодействия,

ПОСТАНОВКА ВОПРОСА

361

записанное в энергетической переменной

ш ±тШ В 2 Wmk if) k

— — Н t - Е t

Здесь принято во внимание, что е п 0tyk(x) = e л й%(*). Величина

Vmu = Wmk (t) еш<п*< = e"W J ^ {х) w (х, t) ^ (х) dx (83.4)

л.

есть матричный элемент энергии возмущения W (х, t) в представ-лении взаимодействия, a comfe = —^—- — боровская частота перехода Em->~Ek. В начальный момент предполагается, что система находится в состоянии Е — Еп. Следовательно, при t = 0

ck (0) = 1, если к — п, и ck (0) = 0, если кфп. (83.5)

Вероятность найти систему в состоянии Е = Ет в момент времени !) t равна | ст (/) |2. Поэтому вероятность перехода из Еп в Ет к моменту t равна

Pmn(t) = \cm(t)\2. (83.6)

Таким образом, дело сводится к определению величин ck(t) из уравнений (83.3) с начальными данными (83.5).

Мы будем рассматривать W (х, t) как малое возмущение. Для решения уравнения (83.3) заметим, что если совсем игнорировать W, то величины ck (t) будут постоянными. Поэтому в качестве нулевого приближения для c%(t) можно взять их начальное значение (83.5)

cl{t) = bnk. (83.7)

^Подставляя эти значения в правую часть (83.3), мы найдем уравнение для первого приближения с(т (t):

dcn) (t)

м-тг-=2 Wmk w Гтк'4=w™ wе <83-8>

к

Отсюда

t

ей' (/) = jy $ Гт„ (т) /V rfT + би„. (83.9)

о

Подставляя это первое приближение для с(т (t) в правую часть (83.3), мы найдем уравнение для второго приближения:

_ к

i) См. § 22.

Так как 4n (t) суть опять известные функции времени (83.9), то, интегрируя (83.10) по времени, мы найдем ст'(t), т. е. второе приближение. Эту процедуру можно продолжать и дальше, и она ведет к точному решению для cm(t). Однако, вообще говоря, придется брать много приближений или ограничиваться малыми

отрезками времени t. Если же W (х, t) мало, то достаточно ограничиться первым или вторым приближением.

В дальнейшем мы рассмотрим различные специальные случаи возмущений и систем.

§ 84. Вероятности переходов под влиянием возмущения,

зависящего от времени

Определим теперь вероятность перехода системы из квантового уровня Еп в Ет под действием возмущения W (х, /), зависящего от времени. Допустим, что возмущение равно нулю для /<0 и для />7\ Считая, что Wmn(t) столь малы, что первое приближение пригодно и для t = T, мы получаем из (83.9) амплитуду с'т (0 для t^T в виде

Т -{-со

с™ = ш S w- WeM"T DX' ТФП- (84-!)

0 —со

(Заметим, что dii для />Т от времени не зависят, так как энергия есть интеграл движения.)

Полученное выражение для с'т (t) имеет простое значение. В самом деле, возмущение W (*, t) может быть разложено в интеграл Фурье

-f- оо

W(xt t)= $ W (х, со) е~ш dco. (84.2)

— оо

Отсюда по теореме Фурье получаем

-f- со

W (*' w) = 2яТ § w(x> (84.3)

— оо

Матричный элемент возмущения (83.4) на основании (84.2) может быть написан в виде

Wmn (t) = \ ч>* (х) W (х, t) % (х) dx =

-(-со -{-со -{-со

= 5 e^dio $ я|)т (х) W (х, — со — со — оо

где Wmn (to) есть матричный элемент компоненты Фурье частоты со. Применяя к (84.4) теорему Фурье, находим

+ с»

r„(») = i J Wm„(t)e<°»dt. (84.5)

— СО

Сравнивая это с интегралом в (84.1), мы видим, что

Й'=|^Ы. (84.6)

При этом наше приближение законно, если с(т мало (это — необходимое условие, так как с« (0) = 0). Согласно (83.6) и (84.6) вероятность перехода из состояния Еп в состояние Ет будет равна

Pmn = %\Wmn(amn)\\ (84.7)

Эта формула содержит важный результат. Как мы видим, Ртп Ф О только тогда, когда Wmn (com„) ф 0, т. е. переход из уровня Еп в уровень Ет возможен лишь в том случае, когда в спектре возЕ —Е

мущения содержится частота (отп = —^—-. Иными словами, переход носит резонансный характер. Положение выглядит так, как если бы квантовая система являлась совокупностью осцилляторов с собственными частотами, равными частотам Бора (отп. При действии внешнего переменного воздействия возбуждаются только те осцилляторы, частоты которых совпадают с частотами, присутствующими во внешнем воздействии. Ниже мы приведем важные приложения формулы (84.7) к оптическим вопросам.

Формула (84.7) выведена для переходов в дискретном спектре. Для переходов в непрерывном спектре она должна быть несколько видоизменена. Рассмотрим необходимые видоизменения для переходов из дискретного спектра в непрерывный, считая, что система имеет и тот и другой спектр (таков, например, спектр атомов).

Состояния непрерывного спектра характеризуются непрерывными Параметрами. Мы обозначим их через а, р, у. (В качестве таковых могут быть, например, три компоненты импульса частицы Рх, Ру, Pz-) Пока будем явно писать лишь один из этих параметров и обозначим его через а. Энергия будет функцией этих параметров Е = Е (а). Соответствующей волновой функцией будет фа(х). Тогда в (83.2) наряду с суммой по состояниям дискретного спектра появится еще интеграл по состояниям непрерывного спектра (интеграл по а)

0 = 1!М0Ы*)е lirt + lca(ty%(x)e ' п 'da. (84.8) k

Считая, что функции tya(x) нормированы к б (а—а') и повторяя выкладки, ведущие от (83.1) к (83.8), мы найдем, что

t Е(а) — Еп

О

если система первоначально находилась в состоянии Еп> причем

Wan (t) = J ф; (ДГ) W (Х9 t) tyn (х) dx. (84.10)

Дальнейшие расчеты зависят от предположений о характере зависимости W (х, t) от времени. Мы предположим, что оно моно-хроматично (при переходах в дискретном спектре обязательно нужно учитывать немонохроматичность реаль

страница 88
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
коледжи техникумы москвы установщик кондиционеров
автозапуск установка цена
государственные курсы дизайнеров в москве
вентсистемы иннвест с водяными колориферами

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)