химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

6) могут быть получены из аналитических свойств этой амплитуды, частично уже рассмотренных выше. Эти соотношения называются дисперсионными. Они основываются на принципе причинности.

*) О причинности D квантовой механике см. подробнее § 140 и дополнение XII.

Принцип причинности предполагает, что состояние квантовой системы в момент времени t зависит только от ее состояния в предшествующие моменты времени V <С (. В квантовой механике этот принцип содержится в уравнении Шредингера, согласно которому приращение волновой функции за время dt определяется значением функции в момент времени / (ср. § 28) *). Прямым следствием принципа причинности является возможность аналитического продолжения амплитуды рассеяния в комплексную плоскость энергии Е. В дополнении XII на простом примере показана связь причинности с аналитическими свойствами рассеянной волны по комплексной переменной co^-jr.

Наряду с комплексными значениями энергии Е можно рас, УъйЁ

сматривать комплексную плоскость волнового вектора k = L—^—

Наиболее простыми аналитическими свойствами в k плоскости обладает амплитуда рассеяния вперед A (k, 0) = А (k). Эта амплитуда может быть аналитически продолжена на все комплексные значения переменной к, за исключением отдельных точек на мнимой оси, в которых она имеет полюсы1). Как было показано в § 80, эти полюса соответствуют или связанным состояниям, если Im&;>0, или резонансным состояниям при 1т/г<с0.

Предположим для простоты, что в рассматриваемой системе нет связанных состояний и что амплитуда рассеяния A (k) исчезает на бесконечно удаленном полукруге в верхней полуплоскости 1т/г>02).

Для аналитической функции A (z) можно написать формулу Коши

С

где С —замкнутый контур, содержащий точку г. Пусть точка г расположена в верхней полуплоскости. Тогда в качестве контура возьмем всю действительную ось —оо<с z <С + со и полукруг бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости. Устремим теперь точку z на действительную положительную ось. Так как, по предположению, А [г) исчезает при j z | —>- оо, то в результате получим

-f 00 — СО

Интеграл в формуле (81.12) вычисляется в смысле главного значения. Для реальной части A(z) из (81.12) получаем следующее выражение:

+ со

ReA(z) = ±& \ lnA^dt'. (81.13)

*) См., например, А. И. Б а з ь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломе в, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, «Наука», 1971, гл. 3.

-) Эти предположения необязательны. Они приводят к наиболее простым дисперсионным соотношениям.

— со

Мнимая часть амплитуды рассеяния является нечетной функцией переменной k' = г' (см. литературу в сноске на стр. 348). Это позволяет преобразовать формулу (81.13) так, чтобы интегрирование велось только по положительным значениям k'\

СО

О

Воспользуемся теперь оптической теоремой (81.10) и заменим

k

\mA(k) величиной --- atot (k). В результате получим

ПО

**A(k) = Јt*l • (81.15)

0

Формула (81.15) и есть дисперсионное соотношение в его простейшей форме, выражающее действительную часть амплитуды рассеяния через полное сечение atot •

Дисперсионные соотношения имеют широкое применение в современной теории рассеяния частиц, особенно в релятивистской области 1).

А. Дифракционное рассеяние

Допустим, что взаимодействие между рассеивающим центром и частицей сосредоточено в области радиуса R, так что R есть радиус сферы взаимодействия.

Предположим, что длина волны падающей частицы k^R. Тогда в рассеянии будет участвовать много парциальных волн

с орбитальными числами от 1 = 0 до / = -*r-J>l. В этом случае

сумму по парциальным волнам в (80.15) можно заменить на интеграл по dl. Далее, для небольших углов рассеяния 6 полином Лежандра PL (cos 6) можно аппроксимировать функцией Бесселя У0(/б)2). Таким образом, вместо (80.15) будем иметь

СО

А ® = Ж J (2/ + ') ^~ 0 h М DL ~

_L ^ (e2i"i-l) J0(Ql)ldl. (81.16)

0

*) Впервые дисперсионные соотношения были получены К р о н и г о м 0'926) в оптике. В теории рассеяния частиц они стали применяться со времени работы М. Л. Голдбергера (1955). Строгое доказательство дисперсионных соотношений было дано Н. Н. Боголюбовым (1956).

2) Доказательство этого равенства см. Э. Т. Уиттскер и Дж. Н. Ват-сон, Курс современного анализа, т. II, Физматгиз, 1963, стр. 206.

СО

Рассмотрим случай, когда рассеяние частиц вызвано их поглощением. Тогда фазы рассеянных ЕОЛН Т]/ ЧИСТО мнимые, так что r\l = i$l (см. (81.1)). Чисто мнимой является и амплитуда Л (б):

СО

л (6)=-^ \j{\-e--^)j0midi.

о

Такое рассеяние называют дифракционным. Особенно простой случай реализуется, когда поглощение внутри сферы взаимодействия полное, т. е. рассеяние происходит на черном, абсолютно поглощающем шарике радиуса R. В этом случае р/ = оо для / R/X. Интегрирование в (81.16) теперь выполняется в конечном виде

Л(8)=45 JoWldl^ — JARM), (81.17)

0

где Jt (z) — функция Бесселя первого порядка. Стало быть, сечение рассеяния равно

o(B) = ^J\(kRb). (81.18)

В функции от угла 8 оно чимеет вид кривой с резким максимумом при 8 = 0 и слабыми минимумами и максимумами вдали от 0.

В более общем случае дифракционного рассеяния, зная из опыта сечение а (8), можно получить информацию о распределении коэффициента поглощения у (г) в окрестности поглощающего центра. Действительно, поскольку амплитуда А (8) теперь чисто мнимая

величина, то А (0) = Ц/^о (Q) и она может быть найдена из измерений рассеяния. Формула (81.16), на основании известного свойства ортогональности функций Бесселя нулевого порядка

СО

I J0 (ах) J0 (bx) х dx = б (а - b), (81.19)

о

допускает обращение. Умножим равенство (81.16) на J0(Blf), где /' — некоторое фиксированное значение числа /, и проинтегрируем результат по 8 аЪ от 0 до со (это допустимо, поскольку в возникающем интеграле существенны лишь малые углы 8). Воспользуемся далее формулой (81.19), положив в ней л' = 8, a — l> b = l\ Тогда получим (опуская в результате штрих у числа /):

^ СО СО

1_в-2Р/ = 1Г- J A (B)J0 (Ql)QdB = k\ V~o(B)J0(Bl)Bdb. (81.20)

о о

На рис. 69 показан путь частицы внутри сферы взаимодействия. Если коэффициент поглощения частиц в функции расстояния г

от центра есть у (г), то

2р/= 5 y(r)dx9

(81.21)

— со

где интеграл взят по прямолинейному пути при заданном /, т. е. при заданном параметре удара p = Ax). Интеграл (81.21) легко преобразуется к виду

со

г dr

р = /X.

(81.22)

Зная из опыта рь можно численными методами найти коэффициент поглощения частиц у (г).

Дифракционное рассеяние наблюдается в случаях, когда имеется сильное неупругое взаимодействие, а длина волны рассеивающихся частиц мала в сравнении с радиусом взаимодействия.

Дифракционное рассеяние наблюдается, например, при рассеянии нейтронов на ядрах атомов при условии Х<^/?, где R — радиус ядра (/^ = г0-Л1^, г0 = = 1,2 • 10~13 см у А — атомный вес ядра). При параметре удара pДифракционная картина имеет место также при расс

страница 85
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
таблички штрафов на стройке написанные от руки
консоль джульетта производитель
сковорода fissler
спатула с шеей купить

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(26.02.2017)