химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

движение полюса в комплексной плоскости / в зависимости от действительной переменной называются траекториями Редже.

Деформируем контур интегрирования С в контур, состоящий из прямой С и бесконечно большего полукруга С". Предполагая, что подынтегральное выражение в (80.28) исчезает на полукруге С" и что в правой полуплоскости S(k, I) имеет лишь один полюс в точке l — a(k) с вычетом, равным Р (k)t мы получим из (80.28) 2)

А <*• е> = Ж \ ШIS *> - Ч Л (- cos 6) dl +

!) Доказательство этого предположения для широкого класса потенциалов, так же как и доказательство исчезновения интеграла (80.28) на бесконечном полукруге, было дано Редже (1959).

2) Предположение об одном полюсе необязательно. Оно сделано лишь ради упрощения формул.

+ Ж тай" PW-w (-"»«)• <80'29>

В этом выражении второй член имеет резонансный характер около точки a(k0) = n, где п — целое число. Поэтому в окрестности этой точки можно отбросить интеграл по линии С. Далее, s\nna(k) в окрестности этой же точки можно заменить его разложением в ряд

sin [ла (k)] = (— 1 )п л [а[ (k0) {k-k0) + ... + ia2 (k0) +...], (80.30)

где a! = Rea, a« = Ima, a[ (k0) = I da\^ ) и мнимая часть a., переменной а считается малой величиной. Замечая далее, что k — k0 = -j^- (Е — Е0), мы можем представить амплитуду А (&, 6) около точки Е = Е0 в виде

t—t0-\-i y

где Г = 2П k° a2 (k0)/a\ (k0). Если a2 = 0, то амплитуда A (k, G)

имеет полюс при ? = ?0, отвечающий связанному состоянию. При а2 (k0) Ф 0 амплитуда А (&, б) описывает резонансное состояние с Ег — Е0 и шириной Г. Описание рассеяния с помощью полюсов Редже в нерелятивистской квантовой механике совершенно эквивалентно описанию, вытекающему из решения уравнения Шредингера. Полюсы Редже, описывающие связанные или резонансные состояния, описывают те же связанные состояния и те же резонансные состояния, которые можно найти, решая уравнение Шредингера. В качестве простого примера полюсов Редже можно привести полюсы матрицы рассеяния S (&, /) в кулоновском поле притяжения, описанной в § 82. Парциальные амплитуды рассеяния в этом случае имеют вид (см. формулу (82.12))

S(k, В=-т1Х\-%, (80.32)

где E = "-^f^-"» Г — гамма-функция.

Гамма-функция имеет полюсы в тех точках, где ее аргумент равен целому отрицательному числу или нулю. Поэтому парциальная амплитуда (80.32) имеет полюсы в комплексной плоскости / при

/ = a (k) = — 1 + il - nrt (80.33)

где nr = Q, 1, 2, ...

Следовательно, для каждого значения числа пг имеется своя траектория Редже. Полюсы, соответствующие реальным физическим состояниям, суть полюсы с целыми положительными значениями / = 0, 1, 2 ... Из (88.33) имеем для этих значений /

* = (я,+'+1Г (80-34)

(80.35)

Так как энергия Е определена формулой E — -^k2y то мы получаем терм Бальмера

сЩЦ\х 1 гщЕ0

Еп = где n = nrJrl-\-1, а Е0 — энергия основного состояния атома водорода. Таким образом, зная матрицу рассеяния, по ее полюсам можно определить энергию связанных состояний1).

Траектории Редже принято изображать так, что по оси ординат откладывается Re/, а по оси абсцисс — полная масса (или ее квадрат) частицы. В частно(80.36)

сти, для атома водорода, в соответствии с (80.35), будем иметь

л%2 '

где М0 — суммарная масса невзаимодействующих ядра и электрона. На рис. 68 приведены эти траектории.

Теория полюсов и траекторий Редже оказалась очень плодотворной в физике эле-ментар ных частиц2).

§ 81. Общий случай рассеяния. Дисперсионные соотношения

орбитальное квантовое число Re /. Каждая траектория соответствует определенному значению радиального квантового числа пг =

= 0, 1, 2, 3, . . .

1) Приведенный результат был получен автором книги (1946).

2) См., например, П. Коллинз, Ю. Сквайре, Полюсы Редже в физике

частиц, «Мир», 1971.

С помощью понятия матрицы рассеяния мы можем обобщать полученные в предыдущем разделе результаты и на случай неупругого рассеяния частиц. При 'этом неупругое рассеяние мы будем сейчас рассматривать феноменологически как поглощение пучка первичных частиц в рассеивающем центре; именно, каждое неупругое взаимодействие частицы с мишенью выводит частицу из числа упруго рассеянных. Стало быть, в этом случае амплитуда волны, упруго рассеянной центром, меньше амплитуды волны, падающей на центр. То есть |S/|<1, и, следовательно, фазы r\i в этом случае являются комплексными:

i\i = <*i + $h (81.1)

где Р/ (Е) описывает «поглощение» частиц центром.

Нетрудно видеть, что теперь парциальное сечение упругого рассеяния напишется по-прежнему в форме

°? =1Г(2' + 1)1 |2 (81.2)

и совпадает с (80.18) при Р/ = 0. Вычислим теперь парциальное сечение неупругих процессов ajn.

Для этого заметим, что полное число частиц, поглощаемых центром (или претерпевающих там реакцию) в единицу времени, равно, очевидно, полному потоку, втекающему в этот центр. Этот поток равен

где интеграл взят по поверхности, окружающей центр (ds = г2 dQ), и под подразумевается парциальная волна (80.20). Подставляя эту волну в (81.3), получим после интегрирования

/=^-(2/+l)(l-|S/|2). (81.4)

Парциальное неупругое сечение о\п будет равно ~, где /0 есть

0 ш

поток в падающей плоской волне вида е1**, равный—. Следова-тельно,

°{"=Ј(2/+l)Соответствующие полные сечения получаются суммированием по /:

<^=T2-E(2/+1)|1-S/I2, (81.6)

a-=i2:(2/+l)(l-]S,|2) (81.7)

и, наконец, полное сечение всех процессов (упругих и неупругих) равно

& = a*' + a'« = ? (2/ + 1) (1 - Re S/). (81.8)

Здесь ReSj означает реальную часть St.

Таким образом, неупругое рассеяние может быть описано с помощью введения комплексных фаз.

Формально это можно рассматривать как введение комплекс^ ного потенциала U (г) — Ui(r) -\-Ш2(г), так что показатель преломления среды п (г) = |/~ 1 —^- становится также комплексным.

В этой связи полезно привести обобщение уравнения непрерывности на случай комплексного потенциала. Выписывая нестационарное уравнение Шредингера для U (r) = U1(r)-\-i(J2(r) и повторяя выкладки § 29, легко получить уравнение непрерывности в следующем виде:

ir + divJ = ir'B..

Плотность частиц w и плотность потока вероятности j по-прежнему определяются формулами (29.4) и (29.5), а член в правой части возникает за счет того, что lm U (г) Ф 0. Если с/2<0, то

п

происходит поглощение частиц с характерным временем х = Тг.

2

Если же U2 > 0, то имеет место рождение частиц.

Рассмотрение сложных систем, например, атомного ядра, с помощью комплексного потенциала называется оптической моделью.

Докажем важную теорему, устанавливающую связь между мнимой частью амплитуды рассеяния вперед (9 = 0) и полным сечением. Из (80.15) и (80.21) следует, что

со

1тАф) = ~ 2(2/+l)(l-ReS<)t (81.9)

I = 0

где 1т А означает, как обычно, мнимую часть. Сравнивая это с (81.8), получим

1тЛ(0)=^-о<. (81.10)

ЭТО И есть так называемая оптическая теорема. Она позволяет определить мнимую часть амплитуды рассеяния для 0 — 0 из полного сечения.

Важные соотношения между мнимой и действительной частью амплитуды A (k,

страница 84
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(21.02.2017)