химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

олее непосредственно этот же вывод следует из формул (78.24). Амплитуда рассеянных волн А (б) зависит от б только через вектор К (78.23), поэтому ее можно рассматривать как функцию К, т. е. Л = Л(К). Обращая тогда интеграл Фурье (78.24), найдем

2лй2 1

[л (2л)1

+ оо

„— ;кг

А (К) dKx dKy dK,

(79.24)

со

Поэтому, зная из опыта Л (К), мы найдем U (г), т. е. энергию взаимодействия.

При этом нужно иметь в виду еще следующее. На опыте мы не определяем непосредственно А (К), а определяем эффективное сечение а (б) = | А (К) г-Поэтому, зная о (б), мы можем найти А (К) только в том случае, если амплитуда А (К) действительна. В противном случае фаза амплитуды А (К) остается неизвестной. Как видно из (78.24), А (К) будет действительна, если U (г) = —?-- U ( — г), в частности, для центральных сил. Далее, обращение интеграла (79.24) требует интегрирования по Кх> Ку, Кг от —оо до -j-co. Стало быть, для нахождения U (г) мы должны знать рассеяние для бесконечно больших импульсов рассеиваемых частиц (так как 0 ^/С^2р/Л = 4л/Я). Ограничиваясь

336

ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ

[ГЛ. XIII

импульсом р (энергией ? = р2/2ц), мы можем вычислить лишь часть интеграла (79.24):

0 (R)=- ПГ W S S S Е~TKTA (К) (79,24,)

Если отброшенная часть интеграла мала, то вместо истинной потенциальной

энергии U (г) мы получаем сглаженную V (г), т. е. из опыта по рассеянию частиц с импульсом р, следовательно, с длиной волны Х~2лН/р, нельзя сделать вывода об изменениях U (г) на масштабах порядка X, так как в интеграле (79.24') отсутствуют гармоники е~ lKr с К > 4лД = 2р/Л. Это есть выражение хорошо известного факта, согласно которому нельзя получить изо» бражение деталей объекта, размеры которых меньше длины волны, применяемого для освещения света г).

§ 80. Точная теория рассеяния. Матрица рассеяния

Обратимся теперь к точному решению уравнения (78. Г):

V2ij> + = V (г) ф. (80.1)

Это уравнение отличается от уравнения (49.2), подробно рассмотренного в отделе общей теории движения в поле центральной силы, только множителем —2\л/Н2 и порядком расположения членов. Поэтому собственное решение уравнения (80.1), принадлежащее энергии Е = h2k2/2\iy квадрату момента импульса М2 = fi2l (/ + 1) и проекции момента Mz — b,m, согласно (49.4), будет

Ьт (г, О, Ф) = Rt (г) Ylm (8, ф), (80.2)

причем, если положить Rt — it'/r, то из (80.1) получим уравнение для щ:

^ + (k*-lSf±Ryi=V{r)Ul, (80.3)

совпадающее по существу с уравнением (49.10). Общее решение уравнения (80.1), принадлежащее энергии E=.h2k2/2\it может быть написано в виде разложения по ортогональным функциям Ъ,т(г,В9 ф):

со т = + /

* (Л О, <Р) = ? 2 ClmRt (г) Yltm (8, Ф). (80.4)

/ =. о т ~ — I

Представляя решение в форме (80.4), мы тем самым ищем его в виде суперпозиции состояний, отличающихся значением момента импульса (число /), и его проекции на ось OZ (число т).

!) Разумеется, что эти же замечания полностью относятся также к определению р (г) \ерез интеграл (79.23).

Для задачи рассеяния нам нужно, как было объяснено в § 78, найти такое частное решение, которое асимптотически имело бы вид

IV-оо = +Л (б)^, (80.5)

т. е. представляло бы наложение первичной, плоской волны и волны рассеянной. Это решение обладает симметрией вращения около оси OZ и поэтому не зависит от угла ср. Частное решение, не зависящее от ср, получится из (80.4), если там откинуть все члены суммы ст^О. Так как У[0(В, ср) только множителем отличается от полинома Лежандра PjfcosO)1), то мы можем представить искомое решение в виде

со

+ б) = Ц CtRt (г) Рг (cos 9). (80.6)

1 = 0

Дальнейшая задача заключается в определении амплитуд С/. Рассмотрим, каково будет асимптотическое выражение для функции

(80.6). Согласно (49.16') Rt(r) при г->оо имеет вид A sin^r + a^.

Для удобства дальнейших вычислений целесообразно положить

л1

a.i = — r\i и выбрать такую нормировку для функции Ri(r)} что А = \/k. Тогда

sin (fcr —у+Т),)

RT (r),-,co= V KR (80.7)

При таком выборе нормировки асимптотическое выражение для функции (г, б) получает вид

Ч> (г, в)Г_оо = Д Cipi (cos б) \~ шг 6 Шг ) • (80-8)

Теперь следует выбрать Сг так, чтобы (80.8) совпало с (80.5). Для этого разложим плоскую волну eikz — eikrcosB по полиномам Лежандра. Это разложение имеет вид2)

со . ZIL .

EIKZ e 2 (2/ + j) I 2 у JLJL +1/2 (KR) Р[ (cos 0)> (80.9)

1) См. (25.16).

2) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III,

ч. II, «Наука», 1969, стр. 558.

где Ji+ij2(kr) есть функция Бесселя порядка / + */2- Физически это разложение означает представление плоской волны в виде суперпозиции стоячих, сферических волн, т. е. разложение по состояниям с различным моментом импульса относительно начала координат

(точка /* —0). Каждый член суммы (80.9) есть сам по себе решение уравнения (80.1) при I/ (г) = 0, т. е. для свободного движения, принадлежащее заданному моменту импульса (число /). При

больших г имеем

J, + v. (kr)r ^ = Уш sin[kr~ у) • (80-1 °)

Полагая еще

со

л (в) = 2 (cose).

(80.11)

мы можем представить асимптотическое выражение для ty(r> 6) (80.5) в виде

со

— ikr + i

(cos 6)

/ = 0

2ikr

* 2ikr

(80.12)

Сравнивая (80.12) почленно с (80.8), находим

.л/

Cze-^ = (2/+l)e1^,

Cte

. л/ . .

(2/ + 1) + Л„

откуда

Лг = (2/+1)(^-1). Стало быть, амплитуда рассеянной волны Л (8) равна

(80.13) (80.13') (80.14)

со

А ® = Ш 2 (И+1)(«Ил,-0Я*(со5в). (80.15)

Искомое эффективное сечение, согласно (78.10), есть попросту IЛ (8) |2:

2

со

а (6)

1

4&2

2 (2l+l)(e2'n'-l)Ph(cosQ)

(80.16)

1 = 0

Полное эффективное сечение для упругого рассеяния будет равно *)

со

о= ^ а(8)

(80.17)

(2/+1) 1

J Pz (cos б) Pr (cos 6) dQ = 0 (1Ф V).

Отсюда мы видим, что как дифференциальное, так и полное сечение вполне определяются фазами рассеянных волн г),. Часть полного сечения

<*i = & (2/+*)sin2% (80.18)

есть эффективное сечение для частиц, обладающих квадратом момента импульса Л42 = Й2/(/+1) относительно центра сил. Эффективное сечение о, часто называют «парциальным». На рассеяние можно распространить систематику термов, принятую для дискретных состояний. Тогда говорят об «5»-рассеянии (/ = 0), «р»-рассея-нии (/=1) и т. д. «5»-рассеяние сферически симметрично, «/?»-рассеяние обладает симметрией диполя. Проводя параллель с классической механикой, можно сказать, что рассеяние /-го порядка соответствует частицам, проходящим на расстоянии р* от центра сил (р; —параметр удара), причем

Pz = *>//(/+|) = А УЦГ+Т), (80.19)

где р —импульс частицы, Я-—длина волны1).

В квантовой механике состояние с определенным моментом не соответствует какому-либо определенному параметру удара р. Однако радиальные волновые функции Rt (г) имеют максимум около г = р/. На рис. 65 заштрихованы области, где^?|(г) заметно отлично от нуля.

Как следует из (80.16) и (80.17), для определения рассеяния достаточно знать фазы рассеянных волн г). Для нахождения их требуется найти решение уравнения

страница 82
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курсы 1с в москве с нуля торговля
акустическая система 7.1 для домашнего кинотеатра
Vaillant ecoTEC plus VUW INT IV 246/5-5 H
верстак слесарный ширина 500

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)