химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

жем положить

Е' =Е + е, (76.6)

Ч> = ФР (*) + "(*)• (76-7)

Однако, считая возможным применить теорию возмущений к решению уравнения (76.5), мы будем считать, что \&\<^Е, Iи М I ^1 М I» и будем пренебрегать произведениями eW, ей, uW как величинами второго порядка малости. Тогда подстановка (76.6) и (76.7) в (76.5), учитывая (76.3), дает

-Sa?-ЈB==*e-r(jf,]^W- (76-8)

Представим а (х) в виде суперпозиции невозмущенных состояний

+ 00

и(х)= $ u(p)y°p(x)dp. (76.9)

— со

Подставим теперь (76.9) в (76.8), умножим (76.8) на i|>J? (х) и проинтегрируем по х. Имея в виду, что

мы получим

и (р') - Ей (р') = еб (р' - р) - №>р (76.10)

(уравнение (76.8) в «р»-представлении). Здесь

WVP = J № W W (х) (x)dx=±^W (х) fL~^L dx (76.11)

есть матричный элемент в «/^-представлении. Из (76.10) находим

еб (р — р') — W п,п

В точке р' = р знаменатель (76.12) обращается в нуль. Если мы возьмем е^О, то мы получим и (рг) я« ос • б (р'—р), и наше решение ни в коем случае не будет приближением к tyj. Поэтому следует положить е = 0, т. е.

^ ' Е{р') — Е{р) (Р'+Р)(Р'-Р) у 1

Подставляя это значение и(р') в (76.9) и (76.7), мы находим

*PW=*2M-$TT$TO-- (76Л4)

Интеграл здесь перечеркнут, что означает, что при интегрировании мы должны исключить точку р' — р, так как в этой точке формула (76.13) теряет смысл. К тому же, функция I|?J(JK) (р'=р) уже выделена из интеграла особо1).

Необходимым условием состоятельности нашего метода решения является малость добавка в (76.14), т. е.

\%(x)-rP(x)\^-WP(x)\. (76.15)

Из (76.13) видно, что и(р') вблизи резонансной точки р = р' будет тем меньше, чем больше р, т. е. чем больше энергия частицы Е. Следовательно, наше приближение пригодно при больших энергиях частицы.

х) Точный смысл знака J может быть определен следующим образом:

(

р — Д со !

\ F(p, p')dp'+ J F(p, p')dp'

-co . р4-Д

Определенный таким способом предел носит название главного значения интеграла.

316

ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ

[ГЛ. XII

W

В произведенном расчете мы считали, что матричный элемент

Это будет иметь место в случае, если W (х) достаточно быстро исчезает при | я | со, т. е. для этого возмущение должно быть сосредоточено в конечной области пространства (рис. 57). В этом случае, как следует из наших расчетов, энергетический спектр остается непрерывным1), если добавок и мал.

Если возмущение W (х) распространяется на все пространство так, что Wp>p бесконечно, то в первоначально непрерывном спектре могут образоваться разрывы.

В качестве примера приведем возмущение вида

W(x) = Xcos(2f

"9 \6

"ft

+ е

iqx "ft "

(76.16)

где X и ^ — некоторые параметры. Вычисляя теперь матричные элементы WP'P по формуле (76.11), мы получаем

Wpp. = \ {6 (2q + р - р') + 6 (- 2q + р - р')}. (76.17)

Подставляя это значение Wp>p в (76.14), мы ввиду наличия б-функций сразу выполняем интегрирование и находим

+

(76.18)

4,1 Гр+2дМ , %-*<(*) ^

% (X) = (х)

2 \E(p+2q)-E(p) 1 E(p-2q)-E(p)/

При малых X это будет пригодное приближение, но оно отказывается служить в точках

E{p±2q) = E(p), p = + q, (76.19)

так как в этих точках при любом К добавок к \|)J обращается в бесконечность.

(76.19')

Чтобы построить приближенно решение для p — ±q, воспользуемся тем, что уровню Е (р) принадлежат всегда две функции я|эр и \р~р. Самое общее решение, принадлежащее уровню Е (р), будет

х) Если возмущение изображается кривой b (рис. 57), то при достаточно глубоком минимуме могут образоваться дискретные уровни (на рисунке это изображено пунктиром). Наш приближенный метод не дает этих уровней, так как он применим лишь для больших энергий Е.

где а и р — неопределенные коэффициенты. Если в (76.7) подставить теперь ф° вместо то, повторяя все выкладки, мы получим вместо (76.8)

2ji dxЕи - (e - W) ф°.

(76.8')

Подставляя сюда и из.(76.9), умножая на г|зр, и интегрируя по х, найдем вместо (76.10)

и(р') (Е (р')-?(р)) = е(о6 (р-р')Л+ рб (р + р')) - (aWp,p + р№>, (76.10')

и, наконец, вставляя сюда значение Wn»p и WP',-P из (76.17), получим

и (р') (Е (р') - ? (р)) = 8 [об (р - р') + Рб (р + р')] - \- [а {б (2? + р - р') + б (- 2? + р - р')} +

+ Р {б (2д - р - р') + б (- 2д - р - р')}]. (76.10")

Если рф±д, то мы можем положить 8 = 0 и взять либо 1, р—0, либо а = 0, р=1. В первом случае получим прежнее решение (76.18), во втором случае получим решение "ф-р, приближенное к р.

Для р=-|-<7 имеем из (76.10")

и (р') [Е (р')-Е (д)] = г[аб (д-р') + рб (д + р')]- А {о[6 (3^-р') + б(-^/-р')] +

+ Р [б (? - р') + б (-- 3? - p')]f. (76.10"')

Для р' — д левая часть равна нулю и должна равняться нулю также и правая. Имея в виду, что при \Ф§ б (?) = 0, мы получаем

6(0) еа--~р

и для р' = — д

6(0) ер--?а

Сокращая на 6(0), получаем систему уравнений

еа

(76.20) (76.20')

(76.21)

Для определения а и р. Легко видеть, что для р = — д из (76.10") получается опять эта же система (76.21). Система (76.21) однородна. Из равенства нулю ее определителя получаем

8 =

2 *

(76.22)

а соответствующие решения аир имеют вид

а = р для s = + т

(76.23)

и

а =— р для е = —к.

(76.23')

В результате для импульса p = zhq мы имеем решения

? = ?(±<7)+А $±q (*) = aW±g + ф±д), (76.24)

E = E(±q)-~, Ф±^М = а(*±*-*±.7)- (76.24')

Иными словами, в точке p~±q энергия претерпевает разрыв. Для импульсов, лежащих вдали от p = ±q, как было показано,

и от

Рис. 53. Образование разрывов (запрещенных полос) в непрерывном спектре при наложении периодического возмущения.

? = ? (а) -f- Я/2 до следующего разрыва и т. д. и из зон запрещенной эне р г и и от ? = = E(q) — k/2 до E — E(q)-\~k/2 и т. д. Эти запрещенные участки энергии отмечены на оси ординат штриховкой. При малой величине возмущенного поля к-+0 разрывы становятся очень узкими. Следовательно, спектр частицы, движущейся в периодическом поле при малой амплитуде поля, является как бы обращением дискретного спектра, характерного, например, для. атомов. В дискретном спектре «дозволены» только некоторые значения энергии Еъ ?2, ..., а остальные значения «запрещены». В рассматриваемом случае широкие участки энергии «дозволены», а некоторые узкие полоски запрещены.

8 = 0 и, стало быть, ? = ?(р). На рис. 58 изображена кривая энергии Е в функции р: пунктиром для невозмущенного движения, а сплошной линией для возмущенного. В точках p — ±q получается разрыв величины К. Другие разрывы p — ±2q, отмеченные на рисунке, получатся при расчете во втором приближении. (Вообще разрыв получается в точках p = ±:nq, /2=1,2,3,...) Таким образом получается спектр типа, рассмотренного в § 55, именно, спектр, состоящий из зон дозволенной энергии

от ? = 0 до Е — Е (q) — ^r

На рис. 58 помимо вычисленного нами разрыва в сплошном спектре Е показано еще плавное изменение Е в функции р вблизи этих точек разрыва. Это изменение могло бы быть получено и из нашего расчета, если бы мы учли, что решение (76.18) н

страница 77
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
платные курсы масажора
coreldraw обучение ландшафтный дизайн
стол складной сегмент r
курсы кройк

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)