химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

>1 и фЗ матрица W должна быть диагональной. Действительно,

= J фЗ*Фф2 cfx = е.,, - (69.24)

А

Поэтому среднее значение W в состоянии ф представится теперь в ином виде:

\V = J ф* Wф с/а: = е^'3 + в,г|'2.

(69.25)

т. с. в новых переменных ? , гг средняя энергия является кривой второго порядка, отнесенной к главным осям (рис. 52).

Таким образом, задача о приведении матрицы W к диагональному виду совпадает с геометрической задачей о приведении к каноническому виду кривой второго порядка (отнесение к главным осям). В более общем случае ? и г» комплексны, поэтому полного совпадения задач нет, но аналогия сохраняется, если Н и 1} и в этом случае рассматривать как координаты точки.

§ 70. Замечания о снятии вырождения

Мы показали, что при включении возмущения вырождение, свойственное невозмущенной системе, снимается: сливающиеся- уровни расщепляются. Чем обусловлено это расщепление? Для ответа на этот вопрос обратимся прежде всего к причинам вырождения.

Мы видели, что, например, уровни электрона в поле центральных сил вырождены 2/ +1 раз (если не считать спинового вырождения). Это вырождение обусловлено тем, что энергия электрона в поле центральных сил не за висит от ориентации момента импульса относительно поля. Ма тематически это выражается тем, что гамильтониан в этом слу чае обладает симметрией вращения, именно, гамильтониан

2|А

(70.1)

остается неизменным при повороте системы координат, когда координаты л', у, z переходят в х\ у\ г''. В самом деле, при повороте

х2 + у2 + 22 = х'2 + у'2 + г'2, (70.2)

а*2 ^ at/2 ^ аг2 а*'2 ^ а#'2 ^ az'2 v ;

последнее равенство вытекает проще всего из того, что

V2 = (V)2,

так как V есть векторный оператор, а квадрат вектора не меняется при повороте. Таким образом,

Я°(дг, у, г) = Я°(х', у', г'). (70.3)

Если наложенное возмущение не обладает сферической симметрией, то энергия электрона будет зависеть от ориентации момента

А

и произойдет расщепление уровней. Вместе с тем для оператора Я равенство (70.3) уже не будет иметь места. Этот пример показывает, что наличие вырождения связано с той или иной симметрией поля, а снятие вырождения —с нарушением этой симметрии.

Приведем еще пример. Пусть мы имеем осциллятор в плоскости х, у, обладающей одинаковыми частотами (о0 для колебаний по ОХ и по OY. Уравнение Шредингера для такого осциллятора имеет вид

-i(^+w)+^+!^v=EV- {70А)

Гамильтониан в этом уравнении остается неизменным при повороте системы координат вокруг оси OZ. Таким образом, он обладает симметрией вращения. Согласно сказанному следует ожидать вырождения. Оно действительно имеется. В самом деле, уравнение (70.4) решается сразу разделением переменных:

E-Ei + Et. ) (7°-5)

Подставляя (70.5) в (70.4), обычным путем получаем два уравнения

2]Г~сй^" "т—2 ^ Vi — , ('0.0)

- |г ж + fb=?* • (70'6,)

Эти уравнения для осцилляторов имеют известные функции и известные собственные значения, именно,

ф1(дг) = 1|?Я1(л), Јi = ftcD0(«1 + у), /ii = 0, 1,2,..., (70.7) Ъ0/) = %*(У), Е2 = Пщ(пъ + ±}, ла = 0, 1, 2, ... (70.7')

Отсюда

(х, у) = фП1 (х)ty,l2 (у), ЕП1п2 = Пщ (nL + П2+1). (70.8)

Введем «главное квантовое» число

« = «! + Я2-f- 1, А22 = /г — rti — 1. (70.9)

Тогда

4V(*> у)=-^пЛх)%-п1-\{у), Еп = Пщп, я=1, 2, ... (70.10)

Каждому уровню будет отвечать п функций (п± = 0, /гх = 1, ..., Пх = я—1). Следовательно, вырождение действительно имеется.

Допустим теперь, что возмущение W заключается в изменении коэффициента упругости для колебаний вдоль оси OY. Тогда частота колебаний по оси OY изменится. Пусть она будет равна со1. Гамильтониан возмущенной системы тогда получит вид

;'2 /А* . АД\ т^2 . ^у2

п 2ц. [дх2 ду2) ~^ 2 2 »

здесь — возмущение. В рассматриваемом примере решение возмущенной системы может быть получено точно. Дело, очевидно, сводится к замене в (70.7') со0 на В результате решение получит вид

(70.8')

ЧъпЛх, У)^пЛ*)^пЛУ),

или

(Л, г,)=1|?Я1 (^)Я|)Я-.П1-1 (у),

(70.10')

?Я. щ = Й©0«1 + Й©1 (П - ПХ - 1) + ^ 4- ~1.

Как видим, уровни с различным значением числа /гх и одним и

тем же я будут иметь разную энергию. Один уровень Еп невозмущенной системы расщепился на уровни Е/г> 0i ?"Л| г ?л, «-i

(числом п). Вырождение снялось.

Резюмируем вывод из этих примеров. Если гамильтониан

#° (Л*, у, Z) остается инвариантным (неизменным) по отношению к некоторому преобразованию координат (х, у, z-+x'', у', г'), то собственные значения Е° вырождены. Если возмущение нарушает указанную инвариантность, то, хотя бы частью, вырождение снимается.

Глава XII

ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 71. Ангармонический осциллятор

Гармонический осциллятор является идеализацией реальных механических систем. Действительная потенциальная энергия

частиц никогда не представляется функцией —^л*2, а изображается гораздо более сложной функцией U (х). Первое выражение справедливо лишь для малых х. Чтобы уточнить выражение потенциальной энергии U (х), мы можем кроме члена ^ х2 учесть еще и более высокие члены разложения U (х) по степеням отклонения х:

U (х)=^гЧАх3 + ... (71.1)

Коль скоро добавочные члены остаются малыми, мы имеем дело с гармоническим осциллятором, несколько возмущенным наличием отступлений от кривой, свойственной идеальному гармоническому осциллятору. Такой осциллятор мы будем называть ангармоническим.

Найдем квантовые уровни ангармонического осциллятора, считая добавочные члены (71.1) малыми (X мало). Решим эту задачу методом теории возмущений, опираясь на уже известные решения для гармонического осциллятора. В качестве возмущения W у нас фигурируют добавочные члены в выражении для потенциальной энергии г)

*) Мы можем считать, что спектр возмущенной системы останется все же дискретным, так как Хх3 есть поправочный член и он вообще негоден для больших х. Таким образом, из вида поправки (71.2) не следует делать заключения, что асимптотическое поведение U (х) радикально изменилось, как это п ред-полагалось в § 67, где добавочный член Xxs формально рассматривался как пригодный и для больших х.

W(x) = № + (71.2)

Квантовые уровни невозмущенной системы (Х — 0) суть уровни гармонического осциллятора; его собственные значения и функции обозначим через

Еп = Пщ + *i (х). (71.3)

В данном случае вырождения нет: каждому уровню принадлежит лишь одно состояние Матричным элементом энергии возмущения W будет

Wmn = $ 4>?и №я|?л = Я, J i|4*3^ dx - Я (x3U, (71.4)

где через (х*)тп обозначены матричные элементы для л*3.

Согласно формуле (67.10) энергия k-ro уровня возмущенной системы во втором приближении равна

Ek = El + k(x*)kk + W У, (ХЪ!ЛХУ. (71.5)

. Ek — En

Таким образом, нам достаточно вычислить матрицу (х3),пп. Эту матрицу мы могли бы непосредственно вычислить из формулы (71.4) с помощью функций (см. (47.11)). Однако мы поступим более просто. Матрица х„т нам известна (см. (48.8)). По правилу умножения матриц мы можем вычислить из матрицы хтп матрицу (х3)тп. Именно,

(Х3)кп — 2 x

страница 72
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
купить утеплитель
DELL Precision купить
вмятины после града ремонт цена
где удалить пупочную грыжу

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(25.09.2017)