химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

(68.16)

Уравнение (41.5), соответствующее системе (41.4), в нашем случае запишется несколько сложнее (по форме), так как строки и

А

столбцы матрицы оператора Я нумеруются двумя квантовыми числами п и а. Именно, при каждом п имеется fn разных значений а (/„-кратное вырождение). Число /„ возрастает с увеличением п. Для первого уровня /i---l термин «вырождение» не применяется.

Расположить элементы Hm$t па в матрицу не представляет

труда. Так, можно нумеровать какой-нибудь столбец парой (я, 1),

а следующие столбцы номерами: (/г, 2), (я, 3), (я, ffl), затем

пойдут столбцы с номерами (я+1, 1), (я+1, 2), до

-0.

• « •

(/i+l, //x+i) и т. д. Подобным же образом нумеруем строки (га, 1), (ш, 2), (яг, /„,) и т. д. При такой же нумерации элементов матрицы Hm$t„a уравнение для определения собственных значений Е может быть написано в следующем виде (это и есть уравнение (41.5) для нашего случая):

1#и. и—?| Н,Ц, 21 tfl,,2/2 ••• kl ••• #11, A>//j •••

^21. 11 ^21, 21 Е •• #21, 2/2 ••• #21. /л ^21. ^//j

#2/2. 11 H^f.y 21 #2/2. 2/2~? * ' * Я2/2,

Hk\, 11 ///?1,21 . . . . Hki.-ki — E

#А>р, 11 Hf??>, ki • •• #*p,

Hkfk,2l- • • • Hkfk. in •>-Hkfk,kfk—E

(68.17)

Обведенные прямоугольниками матричные элементы относятся к одному и тому же квантовому уровню. Так, например, в первом прямоугольнике (один элемент) — к уровню к = 1, во втором — к уровню k = 2, в третьем —к k-му уровню. Если мы пренебре§ G3J

ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫРОЖДЕНИЯ

2S9

жем матричными элементами, относящимися к различным уровням, т. е. элементами типа Г1,„$,,:а (тфп) (эти элементы, согласно (68.16), равны W,„$, ,;а)> то уравнение (68.17) упростится и примет вид

0.

77fti, ta~E ... ЯЛ1, FTYFE

(68.18)

Такую матрицу называют ступенчатой. Ее определитель А0 (Е) разбивается на произведение определителей меньшего-ранга, именно!),

!1^11,Ц-^1

#21, 21 — Е ... IIЛЬ 2/2

А0 (Е)

%2- 21

0. (68.19)

Обозначая входящие сюда определители через А/ (?), получим

А° (?) = А/х (?) А;2 (?)... А//г (?)... = 0. (68.20)

Уравнение (68.20) будет удовлетворено, если А^(?) = 0, или А/, (?) = 0, или вообще А/ (?) = 0. Корни этих уравнений и дают

в первом приближении энергии первого, второго и вообще k-ro уровня. Уравнение

A/ft(Ј) = 0 (68.21)

тождественно с уравнением (68.11), установленным другим путем.

В § 41 мы объясняли, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к'диагональному виду его матрицы. Из изложенного видно, что принимаемое в теории возмущения первое приближение

1) Этот результат получается сразу, если раскрыть определитель (63.18) по обычному правилу раскрытия: произведение элементов на миноры.

заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами, относящимися к разным уровням, и, таким образом, задачу о приведении к диагональному виду бесконечной матрицы сводим к приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных матриц в ступенчатой матрице (68.18)).

§ 69. Расщепление уровней в случае двукратного вырождения

Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением, когда интересующий нас уровень невозмущенной системы двукратно вырожден. Пусть собственному значению El оператора

А

Н° принадлежат две функции (Jk = 2): ^ и tyl2. Любые две функции (pЈi и ср?2, получающиеся из г|з/л и i|3J52 путем ортогонального преобразования, будут также собственными функциями оператора Н°, принадлежащими уровню El. Это преобразование мы можем записать в виде (см. (68.1))

9J?i = ani|)2i + a12 ft,

(69.1) (69. Г)

фя1 = cos б. е*Ь$х + sin б • е-'Щ2) <$2 == - sin б • еЩг + cos б • (69.3)

представляют собой наиболее общие выражения для волновых функций, принадлежащих двукратно вырожденному уровню El.

Ортогональность и нормировку этих функций легко проверить непосредственно и убедиться также, что коэффициенты аа$ (69.2) удовлетворяют условию ортогональности (68.2). При [5 = 6 — 0 из (69.3) получаются исходные функции и \p/i2. Пусть теперь

наложено некоторое возмущение W. Нулевое приближение будет выражаться функциями, являющимися функциями невозмущенной системы, т. е. функциями (69.1), но с вполне определенными коэффициентами; иначе говоря, значения углов б и р будут зависеть

от вида возмущения W. Для определения этих углов будем искать прямо коэффициенты с± и с2 в суперпозиции

(69.4)

Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определяются из уравнения (68.10), которое в рассмотренном частном

РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ ДВУКРАТНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ

291

случае имеет вид

(El + W11-E)c1 + W12c2 = 0, 1

(El+W22-E)c% + W2lCl = 0t J { ' }

где №1Ь W12, W2i, \F22 — матричные элементы энергии возмущения:

Wn = №iWWidx, (69.6)

W22 = ]ViiWylidxt (69.6')

1^12=n^?,=s фи й& с**. (69.60

Вековое уравнение (68.11) имеет тогда вид

А2(?) =

-0, (69.7)

Wn-г W12 W21 W22 - 8

где е--поправка к энергии k-ro уровня:

е = Е-Е1 (69.8)

Раскрывая определитель (69.7) и решая получающееся квадратное уравнение, мы найдем два корня

8l)2 = *WW yw^LM Wl2,,. (69.9)

Из уравнений (69.5) находим

(69.10)

С2 8— Wn '

Полагая

W12 = | W121 • е«Р (69.11)

и подставляя в (69.10) первый корень (еь знак +), получим

|wr»,ea'p =ctg0.e2'P, (69.12)

2

Ъ Woo — W

а для второго корня (е2, знак —)

су | \Уп \ е*'Р

tgO-e2l'P. (69.12')

Таким образом, получаются следующие решения (в «^-представлении):

fti = & + 2 + К 4 + 1^и1 • j (6913)

фй1 = cos 6 • е'Рф^ + sin 8 • e-'P • %

II

причем

tkl"tk-\ Ъ у 4 hi W12 i ,

2^4

tg6

sine -e'"P.ipJi + cos0• e"'P• lpjk, ,

I Wis I

(69.13')

(69.14)

C2/P =

(69.15)

Весьма важным является частный случай, когда

Для этого случая имеем

Ekl=-Ei + W11+Wlt,

(Л-Ш.

V 2

E^El+Wu-Wu, ) 1

ФА2 =

(69.16)

(69.17)

(69.17')

Преобразование (69.3) етгь поворот. Мы можем получить прямую геометрическую аналогию, если будэм считать г> = 0 (это требует, чтобы Wn — W Тогда коэффициенты а действительны. Частные значения коэффициентов а — коэффициенты с —также действительны. Вместо (69.4) мы можем написать,

полагая Ci = Ј, сг=-т\:

(69.18)

(индекс к мы будем держать в уме). Если потребовать, чтобы

Ъ2 + Ч2 = К (69.19)

то средним значением энергии возмущения W в состоянии (69.13) будет

W = J № 1':: + три*) ^ + Л*]) ^- (69-2°)

Согласно (69.6) получим

W = Wn\* + 2Wlt\t\ -j- Wvrf. (69.21)

Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой второго порядка

на плоскости (!;, г>). Таким образом, среднее значение W есть квадратичная форма от амплитуд (%, TJ), представляющих состояние (р.

Введем теперь вместо системы координат т] новые координаты ц', отличающиеся от первых поворотом на угол 0:

Ј = cosO • ^' — sin 0 • г)', т) = sin б cos О • п'

(69.22)

Подставляя в (69.18), получим

Ф = ?'ф1 + ч'фа»

ф(; — cos б • i|>? + sin б • фЦ, | (69.23)

ф« = — sin б ? ift + cos б • я|)§..

Относительно функций ц

страница 71
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
арендовать колонки
Фирма Ренессанс лес-07 - цена ниже, качество выше!
кресло престиж с 11
склад кладовка в перловке

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)