химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

может получиться лишь в том случае, если

вероятности ' г|),г

а) для L =?- /; . и) дли И ф ?

ft. ft

существуют волны, как уходящие в бесконечность, так и приходящие из нее, так что ноток частиц через поверхность, окружающую атом, равен нулю. Такой случай представляется малоинтересным. Чаще приходится иметь дело со случаем, когда имеются лишь уходящие волны (см. § 99). Тогда стационарных состояний не существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лишь уходящие волны, то находимые методом теории возмущения функции \р„ (х) описывают поведение частиц лишь в течение не очень большого времени /. Однако па самом деле это время может быть очень велико, п оно тем больше, чем меньше значение параметра X. Такого рода состояния tyn(x) и соответствующие им уровни Еп мы будем называть к в а з и с т а ц и о и а р н ы м и.

§ G8. Возмущение при наличии вырождения

В большинстве важных в приложениях задач приходится встречаться со случаем вырождения, когда в невозмущеиной си-стсме (//°) собственному значению Е Е',\ принадлежит не одно состояние i|.>;„ а несколько г|з;;ь -ft,..., ФЙА, ..., i|?JI/. Если теперь л

действует некоторое возмущение W, то без специального исследования нельзя сказать, какая из функций г}*ЯА будет являться

пулевым приближением к собственным функциям оператора Н =

~H°-\-W. В самом деле, вместо ряда функций ф^, я|*„а, ...

принадлежащих собственному значению ?;,', могут быть взяты новые функции фЛь (г>,.>, ф?)СС, срл/, получающиеся из первых линейным ортогональным преобразованием:

Ф/"а- Ц «ар*Хр. (68.1)

/

2 А'прДа'П^баа'. (63.2)

В---1

Функции ф„а, будучи линейными комбинациями функций a|*rtp,

будут также решением уравнения Шредингера

Я0фл = ^Ф«. (68.3)

принадлежащим собственному значению ?,п„ и при добавочном условии (68.2) будут ортогональными, если функци и tyna ортогональны. Функции <Рпа суть поэтому также возможные функции нулевого приближения, по неизвестно, какие коэффициенты #aR следует взять, чтобы получить правильное нулевое приближение.

Для решения этого вопроса обратимся к уравнению (66.9). Нам, однако, следует теперь его несколько модифицировать, уточнив обозначения. При наличии вырождения собственные функции оператора имеют по крайней мере два индекса (п, а). Поэтому в этом случае (66.4) следует написать подробнее, заменяя индекс и на два: п, а. Тогда мы получим

Caaqnna(x). (68.4)

п, а

Соответственно этому уравнение (66.9) получится (заменяя п на п, а; т на ш, р) в виде

(?;» + W,„t, „в - Е) с„в + 1] Wm&, „ас,а =- О, (68.5)

п, а ; in, р

где

W/wp,„a = !iC'b^«aflf.V (68.6)

есть матричный элемент энергии возмущения и получается из (66.7) увеличением числа квантовых чисел, нумерующих состояния. Е'т есть энергия /н-го квантового уровня для иевозмущепмой задачи. Эга энергия от квантового числа а не зависит (вырождение).

Допустим, что мы теперь желаем папгп квантовый уровень возмущенной системы ?/,, близкий к ?/!, и соответствующие собственные функции г|^а(х). Ограничимся решением этой задачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций.

В отсутствие вырождения мы полагали для функций нулевого приближения, что они просто совпадают с невозмущенными. Соответственно этому в нулевом приближении сла = 1, а остальные равны 0. Этого нельзя сделать при наличии вырождения, ибо,

отбрасывая в нулевом приближении возмущение W, мы получим из (68.5)

(El - Е) сяР = 0;

это дает ck$^0 для Е — Е%, но при этом не одно Сф а все принадлежащие собственному значению ??, именно, ck$ для р— 1, 2, fk. Таким образом, в нулевом приближении не одна амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным нулевым приближением для функций k-ro уровня будет

ска = с'&(ф0), а=1, 2, fk,\

В этом приближении мы возьмем из уравнений (68.5) те, которые содержат не равные нулю ck(X. Это будут уравнения

{El + W*Pl *р - Е) ck)\ + 2 Wkb kac& = 0. (68.8)

а^р

Поскольку мы ограничиваемся нулевым приближением к k-щ уровню, мы можем опустить индекс k (держа его просто в уме), положив при этом

Wpa = Wbfi, ka = J ЩЩлка dx, (68.9)

С-4a, a -1, 2, .... /я. (68.9')

Тогда уравнения (68.8) запишутся в виде

/*. (68.10)

a-f- p

h

<яг+u^pp-Е)си1 + 2 wVao, = of p = i, 2,

У ?? мы сохранили индекс /г, чтобы подчеркнуть все же, что речь идет о группе из fk состояний, принадлежащих уровню ??.

Для того чтобы уравнения (68.10) имели отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель системы (68.10) обращался в нуль, т. е.

W2l

А(Е)

0. (68.11)

W

/ft!

4 +

Это — алгебраическое уравнение степени fk для определения Е. Часто оно называется вековым1) уравнением. Из него мы получим fk корней:

Е — Ем, Ek2> ^А-а» • ?•> Ekfk. (68.12)

Так как матричные элементы W$a предполагаются малыми, то эти корни будут близки между собой. Следовательно, мы получаем важный результат: при наложении возмущения вырожденный уровень [Еь) распадается на ряд близких уровней (68.12). Вырождение снимается. Если некоторые из корней (68.12) равны, то вырождение снимается лишь частью.

Для каждого из корней Eka (68.12) мы получим свое решение для амплитуд с'$ из уравнения (68.10). Чтобы отметить, что решение с\0>, с7\ cjf, cf! принадлежит уровню Eka, мы введем в Ср" еще один индекс а так, что решение уравнений (68.10) для Eka запишется в виде

Е = Ека, С~Са\> Сд.), Сор, •••» С$/г> а~1> 2, fk. (68.13)

Если бы мы еще удержали индекс k, то полная нумерация для с{0) была бы 4ра- Уравнение (68.13) есть приближенная (в нулевом

А

приближении) волновая функция оператора Н в «?°»-представле-нии. В «^-представлении решение (68.13) запишется в виде

Ф*а= 2 ФКРМ- (68.13')

Таким образом, каждому уровню Е = Ека принадлежит теперь своя функция ф/га, которая и является функцией нулевого приА

ближения для возмущенной системы (#).

Отличие функций (68.13') от функций (68.1) состоит в том, что в (68.1) коэффициенты аа$ произвольны (вплоть до условия ортогональности (68.2)), а коэффициенты с«р в (68.13) определены. Следовательно, функции нулевого приближения ц>ка представляют собой частный случай функций невозмущенпой задачи ф?а. Заметим, что если вычислить следующие приближения, то нетрудно убедиться, что условием пригодности метода теории возмущения будет опять-таки (67.13), которое теперь для вырожденного случая будет иметь вид

I Wm?,na\<,\E%-E«n\. (68.14)

В § 41 было показано, что задача нахождения собственных

значений и собственных функций любого оператора L, заданного в матричной форме, сводится к решению уравнений (41.4) и

х) Название «вековое уравнение» заимствовано из астрономии.

л

(41.5). Понимая в (41.4) под оператором L оператор полной энергии Я, мы должны учитывать, что в случае вырождения вместо каждого из индексов а и т в этой формуле теперь фигурирует по два индекса я, а и т, р соответственно. В результате из (41.4) получаем уравнения

2 Ягср, паСпа = Ест^ (68.15)

п, а

которые совпадают с (68.5), так как

Я,;.р, па = Ет$тп + ^wp, /fa-

страница 70
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
сколько стоит готовый букет невесты
Компания Ренессанс: лестница металлическая цена - всегда надежно, оперативно и качественно!
кресло посетителей ch 993 low v
KNSneva.ru - предлагает C9723A - офис продаж со стоянкой: Санкт Петербург, ул. Рузовская, д.11, тел. (812) 490-61-55.

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(11.12.2016)