химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

о степеням малого параметра Я:

С,п = Cm + W«' + Х'с,йп'+ ... (66.14)

II

Е--= Е^ + №l) + >*EW + ... (66.15)

При Я--0 (66.14) и (66.15) переходят в (66.13), причем Е{0) должно равняться Оказывается, что решение уравнений (66.11) сущел.

ствепно зависит от того, вырождены ли состояния системы Я0 пли пет. Сели они вырождены, то каждому собственному значению Е',1 принадлежит несколько собственных функций фш, если не вырождены,—то только одна функция. Эти два случая мы рассмотрим порознь.

§ 67. Возмущение в отсутствие вырождения

Пусть каждому собственному значению Еп невозмущеипого уравнения (66.2) принадлежит лишь одна собственная функция IPJJ, соответственно — одна амплитуда с,\. Подставим в уравнение (66.11) ряды (66.14) и (66.15) и соберем члены с одинаковыми степенями параметра Я

(Е,п - Е «") с;п + Я [(wmm - Е *) с;п -V (??„ - Е") с„\' + V WmnC;; j +

п т

+ V[(wm,n--El')C,--E*'cЈ +

+ (Еш -Еп) c,H + V WNMCL ]+...=> 0. (67.1)

Это представление уравнения (66.11) позволяет легко решить его методом последовательных приближений. Мы получим пулевое приближение, если положим Я^О; тогда получаем

(?,;; - В') с,;; - О, т = i, 2, З,..., kt... (67.2)

Это —уравнение для невозмущенной системы Я0. Пусть пас интересует, как меняется уровень Е)\ и собственная функция г|?? под

действием возмущения W. Тогда из решений (67.2) мы берем k-e:

?°-ЕГ, с,Х = Ьтк, (67.3)

т. с. все с;;;1 —0, кроме г/)' =1.

Решение (67.3) мы будем называть решением в нулевом приближении. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает

>. | (ioin,n-Е[1)) 6,„ А -I- (Е1п - ? А) с,к + У] wmtAk

+ О(Я2)-0, (67.4)

где через О (Я2) обозначены члены порядка Я2 и выше. Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми

возмущение и ОТСУТСТВИЕ вырождения

281

и отбросить их. Тогда получаем

(wmm - 6,ИЛ + (ЕЧП - EL) с,); + У w„,Allf - 0. (67.4')

II т± 111

Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера m — k, то получим

wkk-EW = 0. (67.4")

Отсюда находим поправку к Е\ первого приближения:

E^ = wkk. (67.5)

Из уравнений с т z+ k находим поправки к амплитудам ст\ именно, если т Ф к, то (67.4') дает

(^-«)С + ^* = 0. (67.4"')

Отсюда

enV=-^V. wj.k. (67.6)

Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с Я2. Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) з (67.1), тогда

Я2

(wma - wM) JM% - Е i« >6Я1, + («, - Е%) c'm' +

? A: — LM

+ 2 ш"""^й^]+0(ЯЗ)=0' (67-7)

где через О (Л-3) обозначены члены порядка Я3 и выше. Пренебрегая этими членами, получим уравнение для определения Е"~' и cfn (второе приближение). При этом уравнение номера m~-k получается в виде

- Е(2) + У wZnWnkt, = 0. (67.7')

EK — EN

Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:

Е^= У WTNWFI* . (67.8)

К Ф П

Из уравнений с т Ф k найдем

01 = - + У ._. р„. , тфк,пфк. (67.9)

(EM—ELI) (BK — EN) (EK —EM)

Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мы ограничимся вторым

приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем

Ел - ?4 + Ыкк + Я2 У -^2*. + О (Я*), (67.10)

СЛ= 1,

Cm = A — — fEk — Em

+ Я2/У , „ У J „, - , ?*Шя* U О (ЯЗ). (67.11)

Из этих формул видно, что предположение о малости операА А

тора W в сравнении с Я0 означает малость отношения

т

?0 ?.0

Ылт <1, я^т; (67.12)

при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и

А

(67.11) малы, и собственные значения Јft оператора Я и его собственные функции ст (k) близки к собственным значениям и

А

собственным функциям оператора Я0. Условие (67.12) —это условие применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также в виде

, FW-Fl I <*> Я^т> <67ЛЗ)

где Wmn СУТЬ матричные элементы оператора возмущения.

Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в «^-представлении:

«т* Ек~Ет

Ek = ?? + №лл + ..., Wkk = 5 d*. (67.15)

Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения в невозмущенном состоянии (т|$).

Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой

™ -../1 1 \ +2л-1 ~.

При малых п эта величина может быть гораздо больше „ i j. Для больших же п она стремится к нулю, как 1//г}, и условие (67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории возмущении может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней и непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Это обстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам.

Второе, что следует отметить, — это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояА Л

Пунктирная кривая ?/„ (х) =

X*.

ния систем Н и Н° радикально отличаются. Дело в том, что энергия возмущения W может оказаться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U (х). Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение W = Ях3. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид

(67.16).

При Я = 0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии Еп = {п + ~j. Матричные элементы возмущения

Wma = Я (х%

win

при малом Я могут быть как угодно малы в сравнении с Ет — — Еп = ищ(т —п). Тем не менее при всяком Я уравнение (67.16) имеет непрерывный спектр, и только при Я —- 0 оно имеет дискретный спектр собственных значений. Действительно, потенциальная

энергия U (х) — —~-f- Яг* имеет вид, приведенный на рис. 50.

При всяком значении Е для больших отрицательных л\ U (х)<Е, т. е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным.

Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае приближенные функции г|эл (х) и уровни ?„, которые мы можем вычислить из г^я и Еп методом теории возмущения, пользуясь малостью параметра Я? Оказывается, что при малых Я найденные методом теории возмущения функции tyn М отличаются тем, что они велики вблизи потенциальной ямы U (х) и малы вне ее. На рис. 51 повторена кривая потенциальной энергии U (х) (см. рис. 50) и, кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции \ty(x)\2. Рис. 51, а соответствует случаю, когда энергия Е = Еп^Е„. Если же энергия Е не равна ?„, то волновая функция tyE (л*) нарастает вдали от потенциальной ямы U (х) (см. рис. 51, б). В первом случае мы можем сказать, что частицы находятся около положения равновесия х — 0, так сказать, «в атоме», а во втором случае они находятся преимущественно вне его, бесконечно далеко. Стационарность состояний"

страница 69
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
искать в москве стол alf-25 раздвижной
медсправка для водительских прав 2015 в сзао
все для шашлыка магазин
интерактивная выставка-музей роботов

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)