химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ременного поля со будет равна 10° гц.

Чтобы судить о точности этого замечательного метода, укажем, что способом Раби были измерены магнитные моменты р для протона (р) и нейтрона (п) и получены значения: рр = 2,7896 dz ±0,0002, \in = 1,935rh0,02 (за единицу принят ядерный магнетон Бора, равный eft/2Mct где М— масса протона. Этот магнетон в 1842 раза меньше магнитного момента электрона).

§ 64. Свойства полного момента импульса

Мы видели, что и орбитальный момент М, и спиновый s представляют собой величины, принимающие лишь квантовые дискретные значения. Рассмотрим теперь полный момент импульса, являющийся суммой орбитального и спинового моментов.

Оператор полного момента определим в виде суммы операторов орбитального момента М и s:

J=M + S, (64.1)

3X = Mx + sx, Jy = My + syt FS = Mg + sg. (64. Г)

Покажем, что операторы компонент полного вращательного момента подчиняются тем же правилам коммутации (25.5), что и компоАЛА

ненты орбитального момента Мху Myt Mz. Для этого заметим,

АЛ А

что М и S коммутируют, так как оператор М действует на коордиА

паты, а оператор S на них не действует. Поэтому

Ал Л Л , А А^^А Л \ /Л Л\/А Л Ч.

JXJY ~ JYJX = {Мх + sx) (М, + SY) - (My + sy) (Mx + sx) =

= МХМУ - MbMx + sjy - susx = ihMz + iHsz (64.2)

(последнее в силу (25.5) и (59.1)). Таким образом,

JXJY-JYLX = INFZ, (64.3)

JYJZ-JZJY=IHJXI (64.3')

JJX-JJZ= ШУ (64.3")

(два последних равенства получаются из первого циклической перестановкой).

Найдем теперь оператор квадрата полного вращательного моА

мента J2. Имеем

А г Л A v А А А А

/2-(/VI + s)2 = M2 + s2 + 2Ms--=

- к2 + s'1 + 2{М.А: + МЯ + M,l). (64.4)

А А

Оператор J2 коммутирует с любой проекцией J. Например,

AAA Л

рассмотрим проекцию на OZ J~~MZ-\-SZ. Так как МГ коммутпА А А А А

рует с Ж2, S'1 и SZ с М2, s2, то получим

А А АА /А А А А Л Л » . A A «.

Уг _ jsJ2 ^2(М XSX + MBSY + MA-) (Мг + s ) _/Л Ач/ЛА А А А А V

-2 (M, + s,) (WAs.v + MA + M.-s..)-Раскрывая здесь скобки, найдем

Л Л АА / / A A А Л w Л /АА А А I А

^2Л- - J:JS 2 !(Л4ЛМ.- - MM,) SX + (MJA, - М;МЬ) s„ +

А у А Л Л Л v Л J Л. А. А Л \ 1

и, подставляя сюда выражение Е круглых скобках из (25.5) п (59.1), получаем окончательно

= 2{ - IHMYSX + IHMXSU + /И., (— IHSY) + МУ (+ ITISX)} - 0.

Подобным же образом доказывается утверждение для остальных двух компонент. Таким образом,

J*FX-FXJ2 = 0, (64.5)

>1у-/у/2 = 0, (64.5')

>Л~4Я = 0; (64.5")

эти равенства— такого же вида, как и (25.6). Отсюда следует, что оператор J2 и оператор любой проекции (по одной), наприА

мер Jz, одновременно могут быть приведены к диагональному виду, и, стало быть, величины J2 и Jz принадлежат к числу одновременно измеримых.

А

Легко видеть также, что оператор J2 коммутирует с операА А

торами М2 и 52. Действительно, обращаясь к формуле (64.4),

А

мы непосредственно видим это свойство оператора J2, так как

А А А А Л AAA Л

М2 коммутирует с М2, МХ, MV, МГ и SXT SY, S~ и s2. Равным

3

образом S'2, являясь единичной матрицей (умноженной на -4~Й2,

АЛ А

см. (59.13)), коммутирует с sx, sy и S-. Поэтому

j2M2-M2J2 = Q, (64.6)

j2s2-s2J2^0. (64.6')

Следовательно, ./2, М2 и s2 представляют собой также одновременно измеримые величины. Ич (С4.4) имеем

(ЛЬ1) ^ о (J2-M2-S2). (64.7)

Так как (/Ms) образуется из величин одновременно измеримых, то скалярное произведение (Ms) одновременно измеримо с J2, М2 и ь2.

Замечая, что

(Ms) + S2 = (JS)> (64.8)

мы получаем из (G1.7) еще скалярное произведение (JS):

С

Л А . 1 / А А Ах

/S) = ~ (i2-/M2+s2). (64.9)

Ниже мы покажем, что квадрат полного момента У2 и его проекция У, на любое направление квантуются аналогично орбитальному моменту, но полуцелымп числами. Именно,

ja=fta/(/+i), '4» 4' <64-10)

Л = Й/пу, m/==byl dz|, dz/, (64.11)

причем квантовое число /, определяющее собственные значения полного момента, может быгь выражено через орбитальное число / и спиновое LS (59.14) по формуле

/ = / + /, или J = \L-LS\. (64.12)

А А

Из формул для собственных значений J2 (64.10), М2 (25.21)

А

и s2 (59.14) получаем важные в спектроскопии выражения для собственных значений (Ms) и (js):

(Ms) = ? [j (j + 1) - / (/ + 1) - /, (/, + 1)], (64.13)

(JS) = }l [/(/+l)-/(/+l) + M/s+l)b (64.14)

Эти формулы мы применим позднее к теории сложного эффекта Зеемана.

Обратимся теперь к доказательству формул (64.10) и (64.11). Уравнение для собственных функций J2 имеет вид

№ = J*% (64.15)

где под ? следует понимать столбец

I1 . (64.16)

Т2

Пользуясь (64.4), (59.13) и (59.12), находим уравнение (64.15) в раскрытой форме

М

+ тйя

1 о

О 1

\р2

1 О

0~ 1

0-1 I О

= У-2

(64.17)

Производя здесь умножение и сложение матриц, получаем

А^ + ^й^-йЛ^+й^+^Кх о

и, наконец, сравнивая элементы, получаем два уравнения №Ъ + ~ tffo + ТгМ^ -j- ft (Ад. - iky) ifc = У

А2% +1- й*ь - йАл42+fi(Mx+ту) %=У2%.

Эти уравнения легко решаются, если положить

*1 = аУ/т(0,ф), ^2 = ^/.m+i(0. ф),

(64.18)

(64.19) (64.19')

(64.20)

M2tyi = Й2/ (/ -f1) г|)1} М/К = ft/nift А2ф2 = ПЧ (1+1) А^ = й (/и 4- 1) ih

где Ym (0, ф) сферическая функция, а а и Ь — неопределенные коэффициенты. Тогда имеем

(64.21')

(64.22) (64.22')

(64.21)

и, далее,

(Mx-iMy) Ylm = —nY(l + m)(l-m+\) Yi,m-i>

(Mx+iMy) Ylm = - ft (Л-/Л+ 1) Уi, m+iЭти последние два равенства получаются из свойств сферических функций х).

Подставляя и из (64.20) в уравнения (64.19) и пользуясь (64.21) и (64.22), после сокращения первого уравнения на ti-Yim, а второго на Й2К/, ш+1 получим

[' С + 0 + -f- + а - V(l + m+l){l-m) Ъ = Ха, (64.23)

['('+ O + l" - т-1]&-К(* + /л+1)(/--т)а«М, (64.23')

где

(64.24)

х) См. дополнение V, формулы (33), (34).

Чтобы эти уравнения имели отличные от нуля решения, необходимо, что

бы их определитель равнялся нулю. Это даст нам уравнение для определения X:

*(' + 1) + -4- + «-Я, -V{L + M+L)(L-M)

= 0.

(64.25)

?У (/+т + 1) (/ — т) I (/ + 1) + ^ — т—\~\

Отсюда находим два корня

Я = [/ + -) ±[/Ч-~1. (64.26)

(64.27) (64.27')

Сравнивая это с (64.24), получаем искомые собственные значения У2:

1_ "2

Первое значение отвечает сложению орбитального и спинового моментов, а второе— вычитанию их. Подставляя значение К в уравнения (64.23) и решая их, находим а и Ь, а вместе с тем и собственные функции (64.20). При этом мы еще нормируем их так, что a2-f-62 = 1.

Несложные выкладки приводят к следующим функциям: для собственного значения (64.27)

2/-1-1

*--У Й(64.28)

Решения, как мы видим, вырождены. В самом деле, при заданном / можно брать разные числа т = 0, ±1, ±2, ± I, а собственное значение J2 от m не зависит. Причина этого вырождения заключается в том, что при заданной абсолютной величине вращательного момента J'2 возможны его различные ориентации в пространстве. Чтобы в этом убе

страница 66
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
напольная плитка constanza beige
футуристичные часы купить
купить бокалы schott zwiesel
требуется микроавтобус на 8 мест

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(05.12.2016)