химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

можем вообще пренебречь взаимодействием между спином и орбитальным движением. В этом приближении

iM*. У> z> 0 = У> 2, t) = ty(x, у, z, i). (60.4)

Однако, чтобы и в этом случае отметить, что речь идет о частице обладающей спином, пишут функцию (60.1) в виде, соответствующем разделению переменных

г, sz, 0 = Ф(*. У* z> 0 5a(sJ, (60.5)

где через Sa (sz) обозначена спиновая функция. По существу это простой значок, указывающий состояние спина частицы.

Смысл, этого «значка» или, иначе, «спиновой функции» таков: индекс а принимает два значения, которые обычно полагают равными + 1/а и —1/2 (вместо 1 и 2). Первое значение + V2 (или 1) означает, что проекция спина не некоторое избранное направление OZ равна + у- Второе значение индекса а означает состояние спина с другим возможным значением проекции спина на это же направление, именно — «Аргумент» sz «функции» Sa рассматривают как независимую переменную, могущую принимать два значения: ±у. Тогда

S+V.(y) = l, 5+1/г(~|) = 0, (60.6)

так как по смыслу значка в состоянии a= + y, sz—-\--^, и.

в этом же состоянии не может быть sz = — -у, поэтому соответствующая функция равна нулю. Подобным же образом

S-v2(!) = 0, 5_1/2(-у) = 1. (60.6')

Запись же в виде (60.1) и, как частный случай, в отсутствие взаимодействия спина и орбитального движения, в виде (60.5) позволяет рассматривать спин sz как динамическую переменную, подобную любой другой механической величине.

Введенные «волновые» функции спина Sa (sz) обладают свойством ортогональности и нормировки. Чтобы в этом убедиться, возьмем произведение

5S(sJ S$ fe),

где S* означает, как всегда, функцию, сопряженную с 5, а а, Р = ±2. Просуммируем это произведение по всем возможным

значениям спиновой переменной sz [таких значений только два: ft \

±2"). Тогда непосредственно из (60.6) и (60.6') (имея в виду, что S* = S) следует, что

2SS(sz)Sp(sz) = 6ap. (60.7)

-22

(60.9)

на волновую функцию. Значки 1, 2, если оператор L взят в «SZ»представлении, означают номера собственных значений s^^zbyj.

Согласно формуле (39.5), определяющей действие оператора, данного в матричной форме, на волновую функцию, мы будем иметь,

что оператор L образует из функции ? (%, о|?2) новую функцию Ф(фь Фг) по правилу

Ф1 = Liiti + LIFLT, (60.10)

Ч>2 = ?-21^1 + ^22^2- (60.10')

Отличие (60.10) от (39.5) заключается лишь в том, что в (60.10) мы имеем двухрядные матрицы и соответственно функцию из двух компонент, а в (39.5) мы подразумеваем матрицу с неограниченным числом элементов LMN и функцию tj? с бесконечным числом компонент СП(С1У С2, ...).

Представляя V в виде матрицы (столбца) (60.3), мы можем записать два уравнения (60.10) и (60.10') в виде одного матричного:

Ф=ЬР (60.li)

Ф =

(60.11')

(см. (40.14)). В самом деле, (60.11) в развернутом виде означает

Ф1 0 LN ?-12 1>1 0 ^11^1 +?-12^2 0

фа 0 ?-21 ?-22 0 ?•21^ +?-2*4-2 0 '

что совпадает с (60.10) и (60.10').. В дальнейшем под символом

типа LW, если взят оператор, зависящий от спина, мы будем понимать именно такого рода произведения, которые в сущности представляют два уравнения (60.10), (60.10') в виде одного матричного.

Среднее значение любой спиновой величины L в состоянии г|;2, согласно общей формуле (41.2), есть

1(х, у, 2, ^^Г^п^ + ГМг + ^^^^Ь' (60.12)

Так как функции ур± и ij)2 зависят еще и от координат центра тяжести электрона, то мы написали L(x, у, г, /), имея в виду, что получающееся по (60.12) среднее есть среднее от L при заданном положении центра тяжести электрона. Среднее в состоянии фь ijj2 при любом положении электрона получится по формуле

Z(t)^\l{xy у, z, t)dxdydz. (60.13)

Формулы (60.12) и (60.13) с помощью представления 4я в виде матрицы с одним столбцом могут быть записаны в виде

Z (дг, у, г, t) = , I (t) - J Y+LY Же rfy dz.

(60.12') (60.13')

\J5* \|?f 0 1 $A 0

0 6 1 0 0

о о

В частности, о7, (*, У, г, t) «= Y+o^ «

Подобным же образом

о^*, У, г, 0 = ?+аД = — гф?г|>2 + л|>ЭД>ь

§ 61. Уравнение Паули

(60.14)

(60.14') (60.14")

Рассмотрим движение электрона в электромагнитном поле, учитывая наличие спина. Согласно основной гипотезе (§ 58) электрон обладает магнитным моментом

ЖВ = - 4 s.

(6i.i)

Благодаря наличию этого момента электрон в магнитном поле д? (я%"х, ®?Гу, г) приобретает добавочную потенциальную энергию, равную энергии магнитного диполя в поле 3?:

Ш=, — (ШВЩ. (61.2)

Оператор этой энергии, согласно (61.1), есть

Ш = ? {&) = ? (оЖ) = ^ (а^ + а^ЯГ, + а^г), (61.3)

где а —вектор-оператор с компонентами AXT ОУ, ОГ (59.9) и (59.9'). Поэтому гамильтониан (27.7) для движения заряженной частицы в электромагнитном поле при учете спина должен быть пополнен добавочным членом (61.3), так что он будет равен

(61.4)

(мы полагаем заряд электрона равным —е).

Уравнение Шредингера для волновой функции W (т|?ь if>2) теперь будет иметь вид

Это уравнение носит название уравнения Паули. Заметим, что под W мы понимаем столбец (60.3); поэтому в (61.5) записано в сущности два уравнения для двух функций и г|)2 в виде одного матричного.

Определим теперь плотность тока. Для этого запишем (61.5) в виде

ift^ = Н0У + ^~-с(вЩЧ, (6 Г.6)

где через Н0 обозначены члены, не содержащие операторов а. Напишем уравнение для сопряженной функции ?+, которую мы представим в виде строки (60.3')

- й -§Г = + §~с ((а**) ЧТ. (61:6')

Символ ( )+ означает, что в соответствующей матрице столбцы и строки переставлены и элементы взяты сопряженными.

Умножая теперь (61.6) на lF+ слева, а (61.6') на У справа и вычитая одно уравнение из другого, мы получаем

= Y+ (WP) - Y + ~ (аЗ?) ? - ((ОЖ) Y)+ W}. (61.7)

Согласно (40.15) имеем

((0Ж) ?)+ = (а+-Ж) (61.8)

в силу самосопряженности оператора сг+ —о\ Поэтому член в фигурных скобках равен нулю. Остальные члены, не содержащие операторов о\ после вычислений, совершенно аналогичных приведенным в § 29 при получении формулы для плотности тока, дают1)

и m №h+ФМ>«)=-1 div - ^щг+TFVFC - <ь VTF} *) Пользуясь матричной записью, мы все время оперируем с четырьмя функциями ijjf, tj)b if>2 сразу. Рекомендуем читателю, впервые знакомящемуся с матричными методами, написать уравнения (61.6) и (61.6') в развернутом виде (четыре уравнения) и путем умножения первых двух на i|>f и ipf, а двух вторых на ^ и ij^ получить тот же результат.

- ]^div [А (*Г*1+*Я^)]. (61.9)

Переписывая это уравнение в форме уравнения непрерывности для плотности вероятности w и плотности потока частиц J, мы находим

w(x, у, z, 0=*М>1+Ф5*2» (61.10)

-ЈA№4i+1*h), (61.11)

или

W{x, у, z, /)=4™F, J = ^OFVT+-T+VY)-^AT+Y. (61.12)

Эти формулы показывают, что вероятность местонахождения электрона и плотность токов аддитивно слагаются из двух частей, каждая из которых относится к электронам с одной определенной ориентацией спина. Формула для нормировки вероятности имеет вид

5 (ФМ>1+ dxdydz=\ или dxdydz= 1. (61.13)

Величины

Щ(х, У. z, 0=1>М>1, Щ(х, Уг, t)=4frh

страница 63
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Электрические котлы Эван Warmos М 24
сковорода 26 см
садовая мебель cmi
Рекомендуем приобрести в КНС Нева Cisco WS-C3750X-48T-S - оформление в онлайн-кредит в Санкт-Петербурге.

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)