химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

их предположениях и классическая, и квантовая теории ведут к значению —~. Поэтому результат опыта казался загадочным. Если же считать, что намагничение обусловлено не орбитальным движением электрона, а его спином, то отношение должно быть равно ——,

что и получается на опыте. Это предположение позволило не только объяснить результаты опыта Эйнштейна и де Гааза, но и заложить основы современной теории ферромагнетизма (см. § 130).

Заметим, что в настоящее время существование спина электрона может рассматриваться как следствие из релятивистской теории электрона, развитой Дираком. Однако изложение этой теории выходит за рамки нашей книги1).

§ 59. Оператор спина электрона

Обратимся теперь к математической формулировке гипотезы Уленбека и Гаудсмита.

В соответствии с общими принципами квантовой механики собственный механический момент электрона (для краткости будем просто говорить спин электрона) должен изображаться линейным самосопряженным оператором. Обозначим операторы проекций

AAA

спина на оси координат через sxt sy, sz. Чтобы определить вид этих операторов, мы потребуем, чтобы эти операторы подчинялись тем же правилам перестановки, что и компоненты орбитального

момента Мх, Му, Мг. Тогда, заменяя в (25.5) М на s, получаем2)

А. Л Л Л Л

sysz — szsy = ihsx, \ (59.1)

л л. л. л. л. I

^г^л' SXSZ = itlSy. )

J) П. А. М. Дирак показал, что из релятивистского уравнения для движения электрона автоматически вытекает, что электрон должен обладать магнитным моментом (58.2) и механическим моментом (58.1), и, таким образом, дал теоретическое обоснование гипотезе Уленбека и Гаудсмита (см. П. А. М. Д-и-р а к, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960).

2) Опираясь на теорию групп, можно доказать, что правила (59.1) являются единственно возможными.

Проекция спина на любое направление (по исходной гипотезе) может принимать два значения: ±h/2. Поэтому операторы sxt

250

СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [гл. X

sy, sz должны изображаться двухрядными матрицами, так как двухрядная матрица, будучи приведена к диагональному виду, содержит лишь два диагональных члена и, стало быть, имеет только два собственных значения. Полагая

<*у,

П

(59.2)

мы можем сказать, что операторы ох, оу, аг (спиновые матрицы) должны быть двухрядными матрицами вида

ах1 а12 Ьи b12 C12

а21 #22 , <Уу = hi » Gz = C2l c22

(59.3)

— Gy°x = 2iG2,

— OZGY = 2IGX,

— GXOZ = 2iGy.

имеющими собственные значения dt 1. Подставляя (59.2) в (59.1) и сокращая на #2/4, получаем

(59.4) (59.4') (59.4")

Ввиду того, что собственные значения GX, ву, аг равны ±1, то собственные значения операторов oj, oj, G\ суть +1. Стало быть, в своем собственном представлении эти последние матрицы должны иметь вид

1 о 0 1 а2 = и у —

1 0 0 1 о1 =

1 О О 1

(59.5)

т. е. они являются единичными матрицами б:

1 О О 1

(59.6)

Единичная матрица остается единичной во всяком представлении (см. § 40). Поэтому матрицы aj, oj, GZ имеют вид (59.5) во всяком возможном представлении. Рассмотрим теперь комбинацию

21 (GXGY + GYGX) = 2iGXGY + Gy2iGx.

На основании (59.4) это можно переписать в виде

(вуО* - ОГ^) GY + GY (GYGZ - G2GY) = GYGZGY — GZG'Y + GYGZ - GYGZGY =

= OyGz - GzGl\

GyGz = GzGy.

но ajj = 6 есть единичная матрица, поэтому Следовательно,

GxGy = — GyGx> (59.7)

т. е. матрицы GX> GYY как говорят, антикоммутируют.

Комбинируя (59.7) с (59.4) и применяя циклическую перестановку ох, оу, — GyGx = tor,

оуаг = = «V

О^х = — oxaz = iay.

(59.8)

Найдем теперь явный вид матриц вх, оу, аг. Пусть, скажем, матрица а2 приведена к диагональному виду. Так как ее собственные значения равны ± 1, то диагональный вид az будет

1 О

О -1 • (59.9)

ах =

(59.10)

Сравнивая с (59.5), получаем, что апа21 = \. Матрица должна быть самосопряженной, т. е. 0i2 = 0*i. Стало быть, |я12|2=1. Отсюда получаем

(59.11)

<УХ =

О eia е~'а О

где а —действительное число,

Подобным же образом находим, что

О е*Р

(59.1 Г)

с~Я О

О e-i

Перемножая теперь ах на оу, а потом UV на ах и пользуясь (59.8), получим

еЧ <а-р> О О gtfa-p>

откуда

т. е. a —р = я/2. Таким образом, все соотношения удовлетворены при произвольном значении а. Поэтому без всяких ограничений мы можем взять а = 0, р —— я/2. Подставляя эти значения в (59.11) и (59.1Г), получаем (59.9').

(59.12)

Согласно (59.2) из (59.9) и (59.9') получаем матрицы операторов sv, sy, s2 в представлении, в котором sz диагональна ^-представление):

0 ft 2 л 0 А ft

2 0

п

2 0 » sy — ii ° 1 $2 == 0 ft

~~ 2

Заметим, что значки 1 и 2, нумерующие матричные элементы матриц сг и s, приобретают теперь (поскольку выбрано представление) определенное значение: значок 1 относится к первому

собственному значению s2 = ~\-^t а 2— ко второму s2=—^.

Образуем теперь оператор квадрата спина электрона. Из (59.12) имеем

S2 — sx -j- s|r -j4

Л8

1 0 0 1

(59.13)

Вводя квантовые числа ms и lst определяющие значение проекции спина на любое направление OZ и его квадрат соответственно, мы можем написать формулы для квантования спина в полной аналогии с формулами (51.9, 10) для орбитального момента

1 (59.14)

...to,. «.-±1.

§ 60. Спиновые функции

(59.15)

Мы видим, что в квантовой механике состояние спина должно характеризоваться двумя величинами: абсолютным значением |s| (или s2) и проекцией спина на какое-либо направление s2. Первая величина (s2) предполагается для всех электронов Одинаковой, поэтому речь может идти лишь об одной переменной s2. Таким образом, наряду с тремя переменными, определяющими движение центра тяжести электрона (х, у, z или рх, рУ1 р2 и т. п.), появляется еще одна переменная s2, определяющая спин электрона. Поэтому можно сказать, что электрон имеет четыре степени свободы.

Соответственно этому волновую функцию гр, определяющую состояние электрона, следует считать функцией четырех переменных: три относятся к центру тяжести электрона, а четвертая — к спину (s2). Например, в координатном представлении для электрона следует писать

г|5 = г|?(х, у, z, sg, t). (60.1)

Так как спиновая переменная имеет только два значения (±гй/2), то можно сказать, что вместо одной функции мы получаем две:

Ч>1 = *(*. У. 2> + Т> (60.2)

Эти функции мы будем иногда писать в виде матрицы с одним столбцом

^2 0

4>I 0

(60.3)

а сопряженную функцию —в виде матрицы с одной строкой

О О

(60.3')

Такой способ написания позволит воспользоваться правилами § 41 (41.2).

Ясно, что волновые функции ^ и г|)2 будут только в том случае различны, если существует реальная связь между спином и движением центра тяжести. Такая связь существует и представляет собой взаимодействие магнитного момента спина с магнитным полем токов, создаваемых движением центра тяжести электрона. Это взаимодействие обусловливает мультиплетную структуру спектров (см. § 58). Поэтому, если мы игнорируем мультиплетную структуру спектров, то мы

страница 62
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
купить металлические цифры
влок в ульяновске цена
концерт киркорова я
htvjyn ubhjcrenthjd

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(05.12.2016)