химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

матривать как оператор силы Лоренца, действующей в поле <№ на частицу с зарядом е. В самом деле, классическое выражение для силы Лоренца имеет вид

Остальные два уравнения для осей OY и OZ, очевидно, напишутся путем циклической подстановки х, у, z.

Переходя от операторного равенства (56.19) к уравнению для средних значений (для чего умножаем (56.19) слева наф* (xt yf z} t), а справа на г|?(лг, г/, г, t) и интегрируем по всему пространству), мы получаем теорему Эренфеста для движения в электромагнит

Это уравнение вполне аналогично классическому уравнению Ньютона

Рассмотрим теперь специальный случай движения в однородном электрическом и магнитном поле. В этом случае Ш и № не зависят от координат и поэтому коммутируют с операторами

dX dY dZ D

и —гг. В силу этого для однородных полей вместо

ном поле

dt ' dt dt

(56.21) получаем

Я» ^ суть координаты центра волнового пакета. Сравнение с (56.2Г) показывает, что в однородном электромагнитном поле центр пакета движется по законам классической механики как частица с зарядом е и массой р.

Если магнитное поле отсутствует, то вместо (56.22) получаем

Р"Ж = ^6*» * = -^'2 + *V + *0. (56.23)

т. е. имеет место равномерно ускоренное движение центра волнового пакета. Заметим, что в однородном электрическом поле не существует стационарных решений (соответствующие волновые функции обращаются в бесконечность при д: = ±:оо (смотря по направлению поля %ж)). Действительно, согласно (56.23), центр волнового пакета для ? = оо должен лежать в бесконечности: поле «сдувает» частицы в сторону падения потенциальной энергии.

В магнитном поле существуют стационарные решения (см. § 57). Они существуют также при одновременном наличии электрического и магнитного полей, если последние перпендикулярны друг к другу.

Из (56.1) и (56.2) следует, что если вместо потенциалов А и V мы введем новые А' и V'', связанные с прежними формулами

A' = A + vA (56«24)

K'-V-!!-, (56.25)

где /—произвольная функция координат и времени, то потенциалы А' и V описывают то же поле, что и А и V. Действительно,

Ж = rot А' = <#4 rot (V/) = МТаким образом, потенциалы А, V вплоть до преобразования (56.24), (56.25)

произвольны. Но потенциалы входят в гамильтониан Я. Поэтому может показаться, что физические выводы могут зависеть от произвола в выборе А • и V. На самом деле это не так. Физические выводы зависят лишь от поля Ш, а не от потенциалов А, V. В частности, в уравнение движения (56.21) входят лишь напряженности полей, а не потенциалы. Это пример, иллюстрирующий правильность приведенного утверждения.

Предоставляем самому читателю прямой подстановкой показать, что если найдено решение уравнения Шредингера

ift-^ = #i|\ (56.26)

где Я —гамильтониан (56.3), то решение ty' уравнения Шредингера

Т^-=Н'У, (56.26')

где Я' отличается от Я заменой А и V на А' и V по формулам (56.24) и (56.25), будет получаться из г|э по формуле

так как /—действительная функция, то

)Ф'|3=1Ф12. (56.28)

у =% WW* --*"W) А'1 ^ 13=

= |l WW -4>W) -~ А | ф j2 = J (56.29)

так как уф' = ^фейс -f ~ \f- Ф' J.

То есть вероятность местонахождения частицы и плотность тока остаются неизменными при преобразовании потенциалов (56.24) и (56.25), оставляющем неизменным электромагнитное поле. Подобным же образом и все другие физические величины остаются теми же.

Это свойство "уравнения Шредингера называется электромагнитной или калибровочной инвариантностью1).

§ 57. Движение заряженной свободной частицы в однородном магнитном поле

Направим ось OZ по направлению магнитного поля. Тогда компоненты поля будут ОЛ Х--^=ОЛ Y — Q, ОЛ Г — ОЛ .

!) Этим же свойством обладают классические уравнения Гамильтона (см. дополнение VI).

Вектор-потенциал А возьмем в виде

Ах = -<Жу, Ay = Az = 0. (57.1)

Тогда из уравнения (57.1) получается как раз нужное поле (чем и оправдывается выбор А):

<&ГХ = 0, <%ГУ = 0, ЖК=-Ц?- = ЖА (57.2)

Других полей мы не предполагаем (?/ = 0, К = 0), поэтому на основании (56.3) уравнение Шредингера для стационарных состояний напишется в виде

В этом уравнении мы можем сразу разделить переменные, если положим

У(Х, У, Г) = Е?1АХ*ЫУ>(У), (57.4)

где а и р —некоторые постоянные.

Подставляя (57.4) в (57.3), находим уравнение для функции у (у):

~ 2JT # + ^<ЯГЮ+-$-У*<Р = [Е - -2|г - -ф-) Ф. (57.5)

Это последнее уравнение легко приводится к уравнению для осциллятора. Для этого положим

-0 = ^, (57.60

Тогда после простых преобразований получаем вместо предыдущего уравнения новое уравнение

Это и есть уравнение для осциллятора массы р, частоты со0 (см. (47.3)).

Отсюда на основании известных решений для осциллятора мы можем сразу написать нужные нам решения:

l=Y^-y^YW-\y+W)' (57-9)

в = Йео0(я + у), /1 = 0,1,2,... (57.10)

Стало быть, собственные функции частицы в поле будут

*«# (Jr. *) = ё<«**> Г ТЯ„ (?), <57-1')

а квантовые уровни определятся формулой

Ј„(P)=^-f« + 4) + ^, (57.12)

где п = О, 1, 2, ....

Последний член есть не что иное, как кинетическая энергия движения по оси OZ (вдоль поля), первая же часть

Я.(0)=-^(л+4) (57.12')

представляет собой энергию движения в плоскости ху у, перпендикулярной к магнитному полю. Эту энергию можно записать в виде потенциальной энергии тока, обладающего магнитным моментом WI, в магнитном поле 9? (О, О, <ЗГ). Именно, положим

Еп (0) = - (ШЩ = — Жг<Ж = дЯв (2л + 1) «ЯГ. (57.13)

Из этой формулы мы видим, что проекция магнитного момента Шг на направление магнитного поля есть целое кратное от магнетона Бора

Полученное квантование энергии свободной частицы, движущейся в магнитном поле, является важным следствием квантовой механики, так как приводит к наличию диамагнетизма у электронного газа, в то время как по классической теории диамагнитные свойства у электронного газа должны отсутствовать.

Собственные функции (57.11) вполне соответствуют классическому закону движения в магнитном поле. Именно, по классической теории мы имеем круговое движение в плоскости х, у с частотой со0 (как раз эта часть энергии квантуется) и свободное движение по оси OZ1).

Действительно, волновая функция (57.11) означает, что обобщенный импульс по оси ОХ равен рх — На и по оси OZ равен р2 = #р. По оси OY мы имеем гармоническое движение с частотой щ около положения равновесия у0 — ^. Согласно классической механике импульс по оси ОХ также постоянен, и это не противоречит тому, что по оси ОХ также происходит гармоническое колебание около некоторого положения равновесия х0, так

как рх = \iv.ГС + — Ах, а не \ivx\

С

Обобщенный импульс р°х определяет положение равновесия у0, и поэтому от него не зависит энергия движения Епф).

х) См. дополнение X, где приведен соответствующий расчет по классической механике.

То обстоятельство, что по квантовомеханическому решению как будто получается гармоническое движение только по оси OF, в то время как классическое круговое движение означает гармоническое колебание и по оси ОУ, и по оси ОХ (с разностью фаз я/2),

страница 60
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
зальные бутцы
наклейки на мусорные ковши перечеркнутая сигарета
итальянские хлебницы распродажа
купить сковороду для стеклокерамики

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(24.07.2017)