химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ожая это уравнение на и интегрируя по х от — оо до

-f- со, мы получим б-функции:

П* ^ k2c(k)b(k-k')dk-\-^Vn ^ c(k)b(k-^-k'^dk =

+ 00 + со + оо

2JJL

— со — оо — со

+ оо

= ? \ c(k)b{k-k')dk. (55.5')

оо

Выполняя, наконец,- интегрирование по k и меняя обозначение

k' на k, получаем

+ оо

*2 2 U#(k + 2j±)=*Ec(k). (55.6)

оо

Это уравнение есть не что иное, как уравнение (55.2') в «р»-пред-ставлении. Особенностью его является то, что в него входят лишь те c(k), аргументы которых отличаются друг от друга величиной 2лп/а (я = 0, ± 1, ±2, ...).

Величины c(k), c(k-\-2nn/a) суть неизвестные, которые нам нужно вычислить. Все они связаны между собой уравнениями вида (55.6), которые легко получить, если менять в (55.6) k на k-{-2nm/a, где т — целое число. Перенося в (55.6) член с Е налево, мы без труда можем написать уравнения для всех связанных

между собою функций c(k-{-2nm/a):

• • • •

m = + 1,

2(л

а J

-f- 00

6 + — +

а

=о,

оо

m — О, m =— 1,

№ Л _2я\2 |2ц \ « У оо

?]с(/г

+ оо

+ 2 М*'

— оо

2я . 2ЛЛ\ л .... и Т. д.

(55.7)

Это —система алгебраических линейных однородных уравнений

для бесконечного числа неизвестных с(^ + ~~) (m = 0, dt 1,

±2, ...). Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо, чтобы ее определитель А равнялся нулю. Этот определитель зависит от ? и k (и всех коэффициентов Un) и является вообще трансцендентной функцией от Е. Поэтому уравнение

Д(?, ?) = 0 (55.8)

имеет бесконечное число корней ? = ?ь ?2, ?,-, каждый из которых является функцией волнового числа k. Отсюда следует, что энергетический спектр частицы, движущейся в периодическом поле, будет состоять из отдельных областей

? — Ej (k), j — 1, 2, 3, ...,

(55.9)

в каждой из которых энергия есть функция волнового числа kr Эти области называются зонами дозволенной энергии или просто зонами.

Покажем, что в пределах каждой зоны энергия есть периодическая функция волнового числа k с периодом 2л/а. Для доказательства заменим в системе уравнений (55.7) всюду k на k± 2п/а. Тогда, как непосредственно видно из (55.7), такая замена означает просто иной порядок написания уравнения (55.7), т. е. система уравнений переходит сама в себя. Поэтому и корни Ej останутся неизменными, так что

Е,(к).

(55.10)

б-функций следующим образом:

cjk(k') = cj(k') ^ E(* + ^R-tf). (55-12)

Л 5= — СО

Это и есть решение, принадлежащее собственному значению Ej (k) и взятое в «^-представлении (так как k'— p'jh). Отсюда получим •ф в «^-представлении:

— со

-J- со -f- 00

оо л = —оо

Производя здесь интегрирование по получим

?„М- 2 C>(*+^)I-7S—• (55ЛЗ)

л = — оо

Вынося здесь е'** за знак суммирования, прлучим

фу* (*)==****«/*(*), (55.14)

где м/л (дг) есть некоторая периодическая функция л: с периодом а:

ujk(x + a) = ujk(x). (55.15)

tyk(x) в уравнении (55.14) есть собственная функция оператора энергии в «#»-представлении, относящаяся к собственному значению Ej (k), т. е. к /-й зоне и волновому числу, равному k. Она представляет собой плоскую волну (eikx), модулированную в такт периодичности потенциальной энергии. На рис. 42 изображена действительная часть такой функции (пунктирная кривая). Точками на оси ОХ отмечены положения ядер атомов (полюсы функции U (х)). Около этих точек функция ч|^(лг) близка к тем, которые свойственны изолированным атомам.

Из решения (55.13) непосредственно следует, что состояния

с определенным значением энергии ((Л?)2 = 0) суть (как и всегда при наличии поля) состояния с неопределенным значением импульса р. Именно, в состоянии с энергией Ej(k) возможны значения импульса р, равные

р = й(*+2^), п = 0, ± 1, ±2,(55.16)

с вероятностью

»W-*4C(*+JIR)R (55Л7)

для рп = % {k + j. Среднее значение импульса р в состоянии фд, вообще говоря, не равно нулю.

Докажем теперь теорему о движении группы волн в периодическом поле, подобную теореме о движении группы волн в отсутствие поля (§ 7). Зависимость от времени функций (дг),

как представляющих стационарные состояния, будет гармоническая

п

Ej (k)

E:(k)t

i '

с частотой со =

t)=%k(x)e п . (55.18)

Образуем из этих состояний группу, ограничиваясь функциями, принадлежащими одной определенной зоне (/). Соответственно этому предположению индекс / опустим совсем. По определению группы имеем

i|>(*, /)= \ c(k)ei(kx-^uk(x)dkt (55.19)

где Д& — малый интервал. Полагая

k = kQ + 8, со (k) = со (k0) + (~[f)0 6* + •••

и считая с (k) и uk (х) медленно меняющимися функциями k (в области &0±Д&), мы получим вместо (55.19)

г|з (л:, 0 = с (?0) «fto (х) el J g' Г U* Л . Afe

Вынесенные за знак интеграла множители являются быстропере-менными функциями х и t. Интеграл по б, напротив, медленно меняется, если* Ak мало. Поэтому этот интеграл можно рассматривать так же, как мы делали в § 7, как амплитуду группы ty(x, t).

Повторяя в точности все рассуждения § 7, мы найдем, что максимум амплитуды («центр» группы) перемещается с групповой скоростью, равной

Отсюда следует, что средний импульс такой группы равен

"=?«»=? ?(4г).- (55-21)

Пользуясь выражением для Е (55.11), мы можем написать выражение для среднего импульса в группе состояний в /-й зоне

около k0 — k в следующем виде:

со

Р=--Х 2 Јymmsin(m^). (55.22)

т — 1

Отсюда видно, что на границах зоны ^ = ±-~j средний импульс

р = 0. Легко непосредственно убедиться из вида функций фуЛ (*) (55.13), что в этих случаях мы имеем стоячие модулированные волны. Для значений k^nn/a средний импульс вообще не равен нулю. Следовательно, состояния с определенной энергией в периодическом поле суть состояния со средним импульсом, вообще говоря, не равным нулю.

Если ограничиться в ряде (55.11) двумя первыми членами (т = 0 и т = 1), то получим

В (kj) = Ejo + Eji cos (ka). (55.11')

В центре зоны (около & = 0, см. рис. 43) можно разложить (55.1 Г) по степеням k, тогда найдем

?/(*)-?;о + ?д(1-^-+ ...). (55.11*)

Для свооодного движения энергия равна

Ел = const + -^- (55.11"')

(см. § 7). Поэтому (55.11") можно переписать в виде

Ej = const -f^V, (55.23)

где р,* есть так называемая эффективная масса

1 Ejycfi 1 (d*Ef(k)\

~ w~ ~ ~w хгш- ум- (55,24)

Соответственно импульс равен

Р = 7^ЙЛ. (55.25)

т. е. отличается от импульса свободной частицы коэффициентом JLI/JX*. Подобным же образом можно представить энергию и на краях зоны (k = ± я/а). Возьмем, например, окрестность точки k = + я/а. Положим & = я/а — |. Тогда

cos (я&) — cos (я — la) = — cos (la).

В этой области

т. е.

Ej (k) = const-f

2|i** '

(55.23')

где (Li** есть эффективная масса на краю зоны. Из (55.24) следует, что

т. е. эффективные массы в середине и на краю зоны имеют противоположные знаки.

Доказанные в этом отделе теоремы имеют исключительное значение в современной теории металлов1). Не имея возможности входить в детали этой обширной в настоящее время теории, мы ограничимся самыми краткими замечаниями. Теорем

страница 58
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
котел на дровах и газе цена
3д передвижной кинотеатр москва
маджеста 2 журнальный столик
учение на парикмахера

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)