химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

точности совпадает с отношением этих величин о классической теории для заряда —ее массой и,, движущегося по замкнутой орбите. Заметим, что, поскольку ось OZ ничем не выделена, такое же отношение получится и для проекций WI и М на любое направление. Поэтому (53.12) следует толковать в том смысле, что отношение вектора магнитного момента WI к вектору М механического момента равно —

§ 54. Квантовые уровни двухатомной молекулы

Обратимся к молекуле, образованной из двух атомов А и В с массами тд и тп. Потенциальная энергия в функции расстояния между атомами г пусть будет V (г). Эта энергия имеет вид, приведенный на рис. 38. Мы ограничимся рассмотрением только относительного движения атомов А и В. Из классической механики известно, что относительное движение двух частиц с энергией взаимодействия U (г) происходит, как движение материальной точки с приведенной массой р:

т

Мв

1 (54.1)

т

Для Е > 0 спектр непрерывен, для Е < О имеет место система уровней Е0 < Et< .. .

в поле центральной силы U (г), а общее поступательное движение — как свободное движение материальной точки с массой тА-\-+ тв. Такое же положение вещей имеет место, как будет доказано в § 104, и в квантовой

(54.2)

механике. Опираясь на это обстоятельство, мы можем написать оператор полной энергии для относительного движения атомов А и В в виде

м2

2цггде г есть расстояние между атомами, а углы 8 и <р (входящие

л.

в М2) определяют направление линии, соединяющей А и В.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет таково же, как и (49.2). Волновую функцию можно опять искать в виде

4>(г, 8, <р)=Я(г) У/<я(9, Ф), ?)

R = ±

г

(54.3)

причем для и будем иметь уравнение

-iЈ + Wg* + U(r)]»-Eu. (54.4)

тт №1(1+1)

Член —^ 2 можно рассматривать как дополнительную потенциальную энергию, так что всю потенциальную энергию для

движения по радиусу можно определить в виде

«7, (г) = «7 (г) + 5!Ш+1> и переписать уравнение (54.4) в виде

(54.5)

2р. dr*

+ Wt (г) и**Ей.

(54.4')

График функции Wt (г) для разных I изображен на рис. 39. В отсутствие вращения (/ = 0) W0(r)~ U (г), и мы имеем случай, рассмотренный в § 49 (рис. 29). Если вращение не сильно

(/ невелико), то Wt(r) все еще не сильно отличается от U (г). Последняя кривая лишь несколько искажается. Если, наконец, / очень велико, то кривая Wt (г) принимает вид, приведенный на рис. 39 (случай /j>l). Мы знаем, что для / = 0 молекула имеет дискретный спектр при ?<0 и непрерывный при ?>»0. При сильном вращении Wt(r) всюду положительно. Тогда из доказанной в § 49 теоремы следует, что ?>0 и, следовательно, спектр будет непрерывным.- Молекула будет диссоциировать на атомы А и В. Эта диссоциация является результатом действия центробежной силы, которая развивается при вращении молекулы.

Рассмотрим случай, когда вращение невелико, так что Wt мало отличается от U (г) — по крайней мере в области минимума U (г) (г = rt). Разложим Wt(r) по степеням отклонения от положения равновесия г — rt. Положение равновесия гг зависит от / и определится из минимума Wi(r):

dWi

dU

'--*"<'+'>= о.

dr dr (ыг

Отсюда находим г — гг. Далее имеем

(54.6)

причем

(54.7)

(54.8)

Введем обозначения:

(^)гв0 = М. И^Л, * = (54.9)

Подстановка Wt (г) из (54.7) в (54.4') в обозначениях (54.9) дает

- ? 0+(" W++Т ^)«- ?«- <54-5'>

Обозначая через ?' величину

E'^E-Uin)-^^, (54.10)

мы перепишем уравнение (54.5') в виде

^ S + У н®**2" = (54 -5")

Это —уравнение для стационарных состояний осциллятора (47.3), обладающего собственной частотой со*. Согласно (47.10) его собственные значения Е' суть

Е'п = Йсо/(я + yj, n = 0, 1, 2, (54.11)

а собственные функции, согласно (47.11),

Находим полную внутреннюю энергию молекулы (пользуясь

(54.10))

Ет = */ W + Йи, (я + у) + ?!^77iI, (54.13)

л = 0, 1, 2, / = 0, 1, 2, ... (54.13')

Собственные функции молекулы будут

Ъат (г, б, Ф) = у и„ (г) У*« (б, Ф). (54.14)

Эти волновые функции описывают вращение молекулы и ее колебания. Энергия молекулы ЕпЬ оказывается равной сумме энергии колебаний с частотой о>/ Й энергии вращения молекулы

E^Wl. (54.15)

Имея в виду, что #2/(/+1) есть квадрат момента импульса Л4?, мы видим, что выражение для энергии вращения молекулы в квантовой механике таково же, как и в классической, так как, согласно

(54.9), It есть момент инерции молекулы1). Формула (54.15) показывает, что энергия вращения квантуется, причем расстояние между соседними уровнями равно

АЕ^Ц+Ц (54.16)

(если пренебрегать слабой зависимостью момента инерции от /, т. е. растяжением молекулы под влиянием центробежной силы).

Полученные нами решения, конечно, приближенны. Мы пренебрегли ангармоничностью колебаний молекулы, отбросив высшие члены в разложении Wt(f) по степеням r — rt. Это допустимо, если отклонения г — rt малы в сравнении с расстоянием между атомами rt (или г0). Из теории осциллятора следует, что среднее

значение *2=г^~(я + у) (чтобы в этом уоедиться, достаточно

вычислить матричный элемент хтп, пользуясь матрицей хтп (48.8)). Поэтому

и условие справедливости нашего приближения может быть написано в виде

1 или <54-17>

т. е. приближение тем лучше, чем больше масса атомов молекулы, чем больше частота колебаний со0 и чем больше расстояние между атомами г0. Кроме того, уровень колебаний должен быть не очень высок (я мало). При больших ли/ связь между колебаниями и вращением молекулы становится сильной, и все наше приближение делается несостоятельным. Напротив, при малых п и / мы можем вообще пренебречь зависимостью rt от / и брать вместо // и со/, /0 и со0 для / = 0.

Величины /0 и со0 обычно таковы, что «квант» энергии колебаний Йсо0 гораздо больше «кванта» энергии вращения Й2/2/. Так, например, для молекуле водорода

йю0 = 8,75- Ю-13эрг, ^-1,15-Ю-14 эрг.

*) Напомним, что по классической механике энергия вращения равна ЛР/2/.

Благодаря этому обстоятельству энергетический спектр молекулы состоит из системы уровней колебательных (разные значения числа п) и вращательных (разные /), последние лежат очень близко друг к Другу. Схема энергетического спектра молекулы приведена на рис. 40. Пунктирная линия на границе с непрерывным спектром есть ? = 0 и соответствует энергии диссоциирующей молекулы. Это значение энергии может быть достигнуто при любом п для достаточно больших /.

(п*0)

Рис. 40. Схема вибрационных п и ротационных / уровней двухатомной молекулы.

Энергия диссоциации молекулы D, находящейся в нормальном состоянии (/1 = 1 = 0), равна, как было показано в § 49,

Z) = c/0-^°. (54.18)

Важнейшая область явлений, в которой обнаруживается квантование движения молекулы, — это спектры молекул. Пусть возможные уровни энергии электрона в молекуле суть Ем. Тогда полная энергия молекулы и ее оптического электрона равна

Е = EN+Пщ [п + у) + ^ / (/ + 1) + const. (54.19)

Написав в таком виде энергию, мы предполагаем, что связь между движением электронов и движением атомов в молекуле слаба, так что приближенно можно представить

страница 56
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Кликни и получи скидку по промокоду "Галактика" в КНС - asus купить ноутбук - офис продаж на Дубровке со стоянкой для клиентов.
фестиваль парк лайв 2017
приточно вытяжные установки цена
lmq24a

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(26.02.2017)