химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ав ему какое-либо значение, найдем из (50.12) аг\ по «! найдем а2 и т. д. Вычисляя все av, мы получим искомое решение в виде ряда по степеням р.

Нетрудно видеть, что полученный ряд будет сходиться при всех значениях р, но при больших р растет столь сильно, что

е~~ аР/

f(~—i при р->оо будет стремиться к бесконечности1). Таким

z

х) Полагая Я = —, s = 2l-\-\, перепишем (50.12) в виде

av+i - Tqn v+s+i av'

Отсюда видно, что отношение ^?+1 _> J^L при v -> со. Далее, мы можем взять

av v-f-1

такое v = v\ что

где e>0. J-(l+e)Начиная с этого значения v, коэффициенты av растут быстрге, нежели коэф

образом, как это и следует из общей теории § 49, конечное при р = 0 решение не будет, вообще говоря, конечным при р = оо. Однако решение будет заведомо конечно и при р = оо, если ряд оборвется на каком-нибудь члене. Тогда / (р) будет многочленом и R будет стремиться к нулю при р->-оо.

Такое решение будет собственной функцией уравнения, так как оно конечно во всем интервале от р = 0 до р = оо и однозначно.

Легко видеть, что обрыв.ряда на каком-нибудь члене, например, номера v = пг, может произойти лишь при определенном значении параметра уравнения а. Действительно, положим, что коэффициент аПг еще не равен нулю. Чтобы следующий коэффициент

обращался в нуль, необходимо, чтобы

2а (nr + /+l)-2Z = 0t

т. е.

« = „-FfT7. (50.13)

Ясно, что при этом условии не только аПг+1, но и все последующие коэффициенты обращаются в нуль, ибо все они пропорциональны аПг+1. Таким образом, (50.13) есть необходимое

и достаточное условие, чтобы решение / (р) обращалось в многочлен, а вместе с тем функция R (р) оставалась бы всюду конечной. Полагая

n = nr + l+l (50.14)

и подставляя в (50.13) значение а из (50.7), получим

е = -|. (50.14')

Имея в виду выражение Е через е (50.4), мы получаем, что конечные и однозначные решения R существуют лишь при следующих значениях энергии электрона:

Еп— "2Й^"7^' (50.15)

фициенты ряда, определяемые рекуррентной формулой

а (1+е)

°v + ! v_j_l °V«

Ряд же с этими коэффициентами дает

/1(p)=ea(i+s.p.

Поэтому / (р) растет быстрее fx (р), и, следовательно, функция (50.9') будет стремиться к со при р -> со.

§ 501 ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 205

где число п принимает, согласно (50.14), значения

л=1, 2, 3, я, = 0, 1, 2, 3, .... (50.16)

Число п определяет, как мы видим, энергию электрона и называется главным квантовым числом.

Полученная формула для квантовых уровней Еп электрона, движущегося в кулбновском поле, найдена впервые Бором на основе полуклассической квантовой теории. В этой теории, где квантование носило характер искусственного рецепта, приходилось специально оговаривать невозможность значения п = 0. В квантовой механике это значение исключено само собой, так как / принимает значения 0, 1, 2, а пг есть номер члена ряда (50.9) и имеет наименьшее значение 0.

Прежде чем перейти к подробному рассмотрению полученных квантовых уровней Еп, рассмотрим еще вид собственных решений R(p). Для собственных решений a = Z/n, поэтому формула (50.12) упрощается:

uv+1 ~ ~ 7Г (v+ О (2/+V+2) ^' *ои-10 >

ВЫЧИСЛЯЯ ОДИН коэффициент за другим и подставляя их в (50.9), получим / (р):

f(n)—n n'+ih - n-/~1 (Ш л. (*-i-l)(«-/-2) /2Zp\« MPJ-OoP Ц l!(2/ + 2)\ n J"1" 2! (2/+ 2) (2/4-3) \~)

4- 4-Г— \)n- (n-l-\)(n-l-2)..A /2Zp\V| m

^ ' nr! (2/-f-2)(2/ + 3)...(2/ + л,+ 1) / J' W^-i'/

Отсюда видно, что целесообразно ввести новую переменную:

g = 2Zp = 2Z

* п па v '

Объединяя все постоянные множители в один фактор Л^я/, мы получим из (50.9'), что функция Rni(p)> принадлежащая квантовым числам пи/, будет равна

где через L„+/ обозначен многочлен, стоящий в фигурных скобках в формуле (50.17). Такое обозначение связано с принятым в математике. Дело в том, что многочлен в (50.17) выражается через производные многочленов Лагерра, которые определяются формулой

и(Ъ) = еЬ^{е-\>). (50.20)

Тогда под многочленом L% (|) понимают многочлен

Ii©-|U.©. (50-21)

Полагая здесь k = n~{-l и s = 2/-f-l, легко убедиться, что мы получим многочлен, заключенный в квадратные скобки в (50.17).

Формулы (50.20) и (50.21) легко позволяют вычислять функции Rni. Множитель Nnl в (50.19) мы будем выбирать так, чтобы функция Rnl была нормирована к единице:

00

J/?й/г» == 1. (50.22)

о

Полная собственная функция, согласно (49.4), будет равна произведению Rni на собственную функцию оператора момента

импульса, т. е.

(г, е, Ф) - Rnl (г) Ylm (6, Ф). (50.23)

Энергия Еп, как следует из (50.15), зависит лишь от главного квантового числа п. Если это число задано, то из (50.14) вытекает, что число /, которое называют орбитальным1), может иметь лишь такие значения:

/ = 0, 1, 2, ..., п- 1 (nr = n- 1, я-2, ..., 0). (50.24)

Далее, как мы знаем, магнитное число т при заданном / пробегает значения

т = 0, ±1, ±2, .... ±1. (50.25)

Подсчитаем теперь, сколько различных волновых функций принадлежит квантовому уровню Еп. При каждом / мы имеем 2/+1 функций, отличающихся числом т. Но / пробегает значения от 0 до я — 1, поэтому полное число функций будет

п-\

2 (2/+1) = я2. (50.26)

Таким образом, каждому квантовому уровню Еп принадлежит п2 различных состояний. Мы имеем дело со случаем л2-кратного вырождения.

§ 51. Спектр и волновые функции атома водорода

Подставляя в формулу (50.15) значения универсальных постоянных е, р и Н, мы можем вычислить квантовые уровни электрона, движущегося в кулоновском поле ядра номера Z. На рис. 30 приведены эти уровни для атома водорода (Z=l).

г) Число / называют орбитальным квантовым, числом по той причине, что в старой боровской теории оно определяло при заданной энергии форму орбиты; т называют магнитным квантовым числом по той причине, что оно играет существенную роль в магнитных явлениях (см. §§ 74, 75, 129, 130).

Числа по вертикали слева дают энергию уровней в электро-новольтах (энергия отсчитывается при этом не от 0, а от нижнего уровня Ei). Как видно, по мере роста главного квантового

77

10

I

1 1

t

8

I

soooo800007800000

- /

Рис. 30. Схема квантовых уровней атома водорода.

числа п уровни располагаются теснее, и при п — оо Е^ — 0; далее идет область непрерывного спектра Е > 0, соответствующая ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

/ = -?^^1= 13,55 50. (51.1)

Чтобы понять значение чисел, нанесенных на правой вертикали, напомним, что частота света со, излучаемого при переходе из уровня Enim в уровень ?дтт', согласно квантовой теории света, определяется из уравнения Бора1).

П(д = ЕпШ-ЕпТт>- (51.2)

Подставляя сюда энергию Ещт из (50.15), получим

* = 1ж{^-^)> п'<п' <51-3)

Эта формула (при Z=l) дает частоту света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода. Величина называется спектральным термом. Разности термов дают частоты. Для атома водорода терм равен

Величина

« = ^5 = 3,27-10" саг* (51.4')

называется постоянной Ридберга — Ритца и впервые была вычисл

страница 52
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
обучаю работать в кореле
Столы обеденные Маленький
мультимедиа центр
кухонные столы и стулья фото

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)