химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ыми значениями оператора энергии, так как только при этих значениях Е решение R конечно и при г = 0, и при г = оо. Следовательно, при Е 327328

37106878

(49.25). %/////////////////////// /

Рассмотрим теперь подробней ^^^^^^^^^^^^^^^ несколько наиболее типичных Хуууу/у//у^^

0\

Энергетический спектр Е > 0 непрерывен.

Энергетический спектр для Е > 0 непрерывен, для Е < 0 состоит из отдельных уровней Еу Е^ ... , Е . I есть

энергия ионизации.

видов потенциальной энергии U (г). Во всех случаях мы будем считать, что потенциальная энергия имеет (если имеет вообще) при г = 0 полюс ниже, чем 1/г2. Потенциальную энергию в бесконечности условимся считать равной нулю. На рис. 27 изображена потенциальная энергия U как функция расстояния от центра г для случая отталкивания частицы. В этом случае

полная энергия частицы положительна1). При ?>0 спектр

энергии непрерывен. Следовательно, в случае отталкивающих

сил возможны все значения энергии от 0 до -f-oo. Это обозначено на рисунке штриховкой. На рис. 28 изображена потенциальная энергия для случая притяжения. В этом случае мы

должны различать две возможности: ?>0 и ?<;0. В первом

случае спектр будет непрерывным (штрихованная часть рисунка).

Во втором случае мы получаем дискретный спектр значений Еъ

Е2, Еп. Эти квантовые уровни изображены на рис. 28

НепрврыВтй

спектр Е>0

Ef Е<0

горизонтальными линиями. Приведенный спектр, состоящий из прерывного и сплошного, является как раз тем энергетическим спектром, который свойствен электрону, взаимодействующему с ядром, Ез Дискретный или положительным ионом •Ег спектр- (притяжение по закону Кулона).

Дискретные уровни отвечают, как было показано выше, движению электрона в атоме (вероятность найти электрон вдали от атома исчезающе мала). Напротив, сплошной спектр отвечает ионизованному атому, так как электрон в этом случае может оказаться как угодно далеко от атома. Энергия, необходимая для ионизации, так называемая работа ионизации /, легко может быть получена из приведенной на рисунке диаграммы. Действительно, энергия, которую имеет электрон в нормальном, невозбужденном состоянии атома, есть Ег. Для того чтобы атом был ионизован, нужно, чтобы энергия его электрона была больше О, поэтому наименьшая работа, которая будет затрачена на ионизацию атома в нормальном его состоянии, есть

I = 0-Е1 = -Е1.

(49.26)

Приведем еще другой образец потенциальной кривой, свойственный двухатомным молекулам АВ. При больших расстояниях

атомы А и В не взаимодействуют, поэтому можно положить

с/ = 0 для г = оо. При меньших расстояниях атомы притягиваются и, наконец, на малых расстояниях они отталкиваются из-за

отталкивания ядер и электронных оболочек при проникновении

одного атома в другой. Поэтому потенциальная энергия имеет

вид, приведенный на рис. 29. Для Е > 0 мы имеем опять непрерывный спектр. Вероятность w (г) остается конечной и при

/-->со: атомы А и В могут находиться как угодно далеко

друг от друга (диссоциированная молекула). При ?<0 получается ряд дискретных уровней Еъ Е2, Еп. В этом случае

w(r)-> 0 при г->оо. Атомы находятся близко друг к другу

и образуют молекулу АВ.

Для диссоциации молекулы, находящейся в нормальном (нижнем) состоянии, нужно затратить работу диссоциации D:

D=-E1. (49.27)

Заметим, что по классической теории эта работа равнялась бы U =—t/min, где сАгип означает наименьшую потенциальную энергию, D меньше D' на величину нулевой энергии -g0.

Из приведенных примеров видно, что, зная потенциальную энергию U (г), не производя решения уравнения Шредингера, можно сделать вывод о характере энергетического спектра.

§ 50. Движение в кулоновском поле

Самой простой задачей атомной механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра. С такой задачей мы встречаемся в атоме водорода Н, в ионе гелия Не+, в двукратно ионизованном атоме лития Li4+ и тому подобных ионах, называемых водородоподобными. Обозначая заряд ядра через -\-eZy где е — элементарный заряд, a Z —номер ядра в системе Менделеева, мы получим, что потенциальная энергия электрона в поле такого ядра по закону Кулона будет равна

^ (')=-—• (50.1)

Чтобы найти квантовые уровни для рассматриваемого движения электрона, нужно решить уравнение Шредингера для радиальной функции R. Полагая

Я = 7-, (50.2)

мы получим для и, как было показано в § 49, уравнение (49.10).

Подставляя туда V из (50.1) и понимая под ц массу электрона, получаем следующее уравнение

йз d*u . %* l(t-\-\) Ze* г /ЕЛ «ч

Рассматриваемый нами случай соответствует притяжению (см. рис. 28). Поэтому согласно общей теории движения в поле центральных сил мы будем иметь непрерывный энергетический спектр для Е>0 и дискретный для ?<с0. Мы поставим себе задачу найти этот дискретный спектр и соответствующие собственные функции R. В целях удобства решения введем вместо г и Е безразмерные величины

р = г- и е = |-, (50.4)

где

а = ^ = 0,529- 10-» с*, Ех = ^2 = ~ = 13,5556. (50.5)

Подстановка (50.4) в (50.3) приводит к тому, что в уравнении не будет содержаться атомных постоянных p., еу Н. Именно, вместо (50.3) получаем

S+(-+t-^)"-°- <50-6)

В соответствии с проведенным в предыдущем параграфе исследовании асимптотического поведения функции и мы будем искать и в виде

и (р) = e^f (р), а = У^ТЕ, (50.7)

где f (р) — новая искомая функция.

Подставляя и (р) из (50.7) в (50.6), мы найдем уравнение для функции/(р). Именно, после несложных вычислений получаем

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по степеням р. Из общей теории мы знаем, что конечное при г — 0 решение уравнения (50.3) таково, что ряд по степеням г должен начинаться с члена r/+1. Из (50.7) тогда следует, что конечное в нуле решение (50.8) должно начинаться с рт. Поэтому /(р) будем искать в виде

оо

/(p)=Pw5>vP\ (50.9)

V=0

где av — пока неизвестные коэффициенты ряда.

ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

203

Ряд (50.9) должен быть таков, чтобы функция R (г), которую мы можем теперь, согласно (50.2) и (50.7), написать в виде

R{9) = L^LMT (50.9')

не возрастала до оо при р->со. Для нахождения коэффициентов ряда ах подставим (50.9) в (50.8) и соберем одинаковые степени р. Эта подстановка дает

2>v+i[(v + / + 2) (v + / + l)-/(/ + l)] +

+ av [2Z - 2a (v + / + l)]}pv +' = 0. (50.10)

Чтобы ряд (50.9) был решением уравнения (50.8), нужно, чтобы (50.10) было удовлетворено тождественно при всех значениях р от 0 до оо. Это возможно лишь в том случае, если коэффициенты при каждой степени р равны нулю, т. е. когда

flv+i[(v + / + 2)(v + /+l)-/(/+l)] +

+ flv[2Z-2a(v + /+l)]»0 (50.11)

для всех значений v. Эта формула дает рекуррентное соотношение между ах и av+i'

п 2a(v+f-f-l)-2Z 0 1 о о /гП 12ч

^v+i— (v + / + 2)(v + Z+l)-/(/-r-l) v' v —и, i, z, о, ... . (ou.iz;

Первый коэффициент а0, конечно, произволен, так как уравнение однородно. Д

страница 51
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
что означает желтый цвет в отношениях
Фирма Ренессанс: лестницы на заказ - доставка, монтаж.
кресло престиж с 11
вещи для бизнеса

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)