химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

есть произвольная постоянная, то в тех случаях, когда специально не оговорено, мы будем полагать ее равной нулю и различать два случая: ?>0 и ?<0.

Определим еще вид U (г) вблизи центра сил (при г->0). Мы будем считать, что V (г) имеет в нуле полюс, порядок которого меньше 2:

с/(г)г_о = ^, «<2. (49.7)

Сделанные нами предположения о виде U (г) охватывают весьма широкий круг задач атомной механики. Так, например, в проблеме движения валентного электрона в атоме речь идет о движении электрона в поле ядра атома, окруженного оболочкой более близких к ядру электронов.

При малых расстояниях действие этих электронов несущественно, основное поле будет кулоновским полем ядра. ПотенциальА

ная энергия электрона в кулоновском поле имеет вид — и поэтому

входит в класс (49.7). В случае взаимодействия двух атомов при малых расстояниях наибольшее взаимодействие есть отталкивание ядер по закону Кулона, т. е. потенциальная энергия имеет опять-таки вид А/г. В обоих примерах U имеет при г = 0 полюс первого порядка.

Для исследования решения уравнения (49.5) представим это решение в виде

Д (Г) = 21--. (49.8)

Подставляя это выражение для R в (49.5) и замечая, что, согласно (26.7),

мы получаем следующее уравнение для и:

FP D2U . ft*/(/+1) , r. _ ,,n im

Рассмотрим сначала асимптотические решения этого уравнения при г-»-оо. Пренебрегая для больших г членом с -а и U (г) (мы считаем С в (49.6) равной нулю), получаем простое уравнение

-|0 = ?". (49.11)

Обозначая

дЛя ?>0 и л.2 = — Щ- для ?<0, (49.12)

мы получаем общее решение (49.11) в виде

и = СгеШг + Сае-'*г, ? > 0, (49.13)

и = Сге^ + С2^9 ?<0, (49.14)

где Сх и С2 — произвольные постоянные. Согласно (49.8) асимптотическое решение -уравнения (49.5) имеет вид

R = C1*-T + C2c—t ?>0, (49.15)

R^C^ + CIJ-, ?<0. (49.16)

В первом случае ?>0 решение R конечно и непрерывно при любом значении постоянных. Как видно, оно представляет собой суперпозицию сходящихся и расходящихся сферических волн. Вероятность найти частицу в этом случае не исчезает даже для больших г. Именно, вероятность найти частицу между г и r-\-dr пропорциональна |Я|2 и объему шарового слоя Anr2drl):

!) Пренебрежение в уравнении (49.10) потенциальной энергией U (Г), сделанное нами, законно лишь в том случае, если U (Г) при Г оо стремится быстрее к нулю, нежели 1/л. В случае кулоновского поля U (R)R_^O0 = B/R, и

асимптотические решения (49.15) и (49.16) несколько видоизменяется, но не столь существенно, чтобы это видоизменение отразилось на справедливости наших дальнейших рассуждений.

w(r)dr^\R |2 4лг2 dr = 4л \СгеШг + C2eikr |2 dr.

Такие состояния соответствуют апериодическим орбитам в классической механике, когда частица движется, из бесконечности к центру сил и уходит опять в бесконечность. Так как рассматриваемое нами состояние стационарно, то поток приходящих частиц должен равняться потоку уходящих. Это означает, что амплитуды приходящих и уходящих волн Ci и С2 должны быть

равны по модулю. Если положить Aeia, С2 =— ^Aeria9

где Л и а действительны, то асимптотическое решение (49.15) можно представить в виде

А = Л5|п(*;+а), (49.16')

т. е. в виде стоячей, сферической волны.

Иное положение вещей имеет место при Е < 0. В этом случае необходимо положить С2 = 0, иначе #->оо при г->со. Поэтому нужное решение будет

/? = С!^. (49.16")

Для этих состояний

w(r) dr^4n|Ci fe-^dr

и при больших г величина w (г) 0, т. е. частицу можно найти лишь вблизи центра сил. Такие состояния соответствуют периодическим орбитам в классической механике, когда частица движется около силового центра.

Исследуем теперь поведение решений вблизи центра (г->0). Будем искать и (г) в виде степенного ряда

и (г) = гУ (1 + агг + а2г2 + ...). (49.17)

Подставим это выражение для и в уравнение (49.10). Тогда низшей степенью г будет 'гу~2 или rY_a. Мы видим, что если a < 2, то низшей степенью будет rY_2. Член с rY~2 будет наибольшим (при г->-0); поэтому, игнорируя величины высшего порядка, мы найдем, что результатом подстановки (49.17) в (49.10) будет

[у (у — 1) — I (I + 1)] rY~2 + члены высшего пор ядка = 0. (49.18)

Чтобы это равенство было соблюдено тождественно при всех (бесконечно малых) значениях г, необходимо, чтобы

V(v-l) = /(/+D. (49.19)

Отсюда

у = /+1 или v = — /. (49.20)

Следовательно, при г-+0 решение R, равное и/г, имеет вид

R = С\г1 (\+а1г + а2г2 + ...) + CJr-'-1 (l+a[r + ajr2 + ...), (49.21)

где С[ и С'2 — произвольные постоянные.

Для того чтобы функция оставалась конечной, необходимо положить Сз = 0. Таким образом, собственная функция R при малых г имеет бид

R = C[rl (1 + ахг + а2г2 + ...). (49.22)

При г->оо это частное решение перейдет либо в (49.15) (если ?>0), либо в (49.1.6) (если ?<0). Полагая С^ —0, мы выбираем частное решение уравнения (49.10). Поэтому коэффициенты Ci и С2 в (49.15) или в (49.16) будут находиться уже во вполне определенном отношении друг^к другу (абсолютная же величина этих коэффициентов не имеет значения, так как уравнение (49.10) есть однородное уравнение). Это отношение зависит теперь только от параметров уравнения (49.10), в частности, от ?. Следовательно, при Са = 0 имеем

§ = Д?), (49.23)

где / — некоторая функция ?, зависящая от вида уравнения (49.15), т. е. от U (г).

Если энергия частицы ?>0, то оба частных решения (49.13) конечны, и поэтому при любом отношении C2/C?i решение (49.15) есть допустимое решение, в частности, и при том C2/Ci, которое получается из требования Сг = 0. Поэтому мы не должны накладывать какого-либо нового ограничения на отношение1) C2/Ci. Вместе с тем параметр ? может иметь любое значение. Отсюда следует, что если энергия ?>0, то энергия не квантуется, а принимает все значения от 0 до -f-oo.

*) Из требования С?=0 как раз и вытекает асимптотическое выражение для (49.15). Полагая Сз = 0, мы тем самым выбираем без сингулярностей

в нуле. Благодаря этому будет справедливо уравнение сохранения для г|>*ф (29.7) (см. также дополнение VIII). Для стационарных состояний из (29.7) находим

дли любой замкнутой поверхности. Выберем в качестве такой поверхности Сферу с центром в нуле. Тогда JN~Jr. Из (29.5) и (49.4) имеем

j - *А U ^ - Ф* - 1П Y, У*Ь dR* R*dR\

Подставляя в предыдущую формулу и замечая, что

dS = r4Q, $YlmYfmdQ = l,

получим

R4F~R ~дг •

Легко убедиться, что это равенство невозможно, если j Сх \ Ф \ Ct |.

Таким образом, при Е>0 мы имеем непрерывный спектр энергии. Другое положение дел имеет место при ?<0. Из требования конечности функции R в нуле (С?2 = 0) не следует С2 = 0, так что в общем случае при R конечном в нуле решение будет возрастать в бесконечности неограниченно. Чтобы получить решения конечные и в бесконечности, нужно дополнительно потребовать С2 = 0. А это налагает ограничение на возможные значения энергии ?, так как тогда из (49.23) следует

§ = /(?) = 0.

(49.24)

Это будет некоторое трансцендентное уравнение для Е. Корни этого уравнения

Е — Е\, Е%, •••» Еп, ... (49.25)

и будут собственн

страница 50
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кресло nadir
Фирма Ренессанс лестница с люком - оперативно, надежно и доступно!

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(01.05.2017)