химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

томов. По .мере уменьшения температуры амплитуда колебаний, согласно классической теории,

ОСЦИЛЛЯТОР В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

191

должна неограниченно уменьшаться, а вместе с тем должно исчезать и рассеяние света.. Между тем опыт показывает, что интенсивность рассеяния света по мере уменьшения температуры стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атома не прекращаются. Этот факт подтверждает существование нулевых колебаний.

§ 48. Осциллятор в энергетическом представлении

Обратимся к представлению, в котором за независимую переменную взята энергия осциллятора Е. В этом представлении

А

оператор полной энергии Н будет диагональной матрицей с элементами

Нтп = Еп6тпу (48.1)

о

о о

/

о о

или на основании (47.10)

2

0 — Пщ

(48.2)

о

о

"2 Йю0 0 ...

Любое состояние осциллятора о|з (х, t) можно представить как суперпозицию стационарных состояний (ср. § 30)

? (*. *) = 2J°п(0)1 п = 2сп(t)Ъ(х), (48.3)

п

где tyn (х) дается формулой (47.11), а ?„ —формулой (47.10). Совокупность всех сп будет волновой функцией в «^-представлении. Вероятность найти значение энергии Еп в состоянии ij)(x, t) равна

w(En) = \cn(t)\* = \cn(Q)\*. (48А)

Эта вероятность не зависит от времени, что соответствует тому, что энергия есть интеграл движения.

А

Найдем оператор координаты X в «ib-представлении. По общей теории он должен изобразиться матрицей с элементами

xmn = ^%tx^ndx, (48.5)

Подставляя сюда tym и i|?„ из (47.7), получаем

+ 0° . —— СО

хтп = хо ) е-1'Нт (%) \Нп © d%, х0 = у ^. (48.6)

Этот интеграл может быть вычислен:

J I у -у- для m = /i + l,

— со

(48.7)

О в остальных случаях.

Пользуясь этим результатом, мы можем написать (48.6) с помощью символа 6ШЛ в следующем виде:

Приведем матрицу х. Из (48.8) видно, что отличны от нуля лишь соседние с главной диагональю элементы, именно,

О

О

О

О

о

(48.9)

О

~ о

В гайзенберговском представлении элементы матрицы оператора X будут равны (см. (42.12))

где

•т

Хтп (t)=Xmnemmn\

Е т Е,

%

= со0 (т — п).

(48.10)

(48.11)

Так как хтпФ§ лишь для т = п± 1, то все матричные элементы координаты осциллятора колеблются с одной и той же частотой, равной собственной частоте осциллятора са0.

Вычислим теперь среднее значение координаты осциллятора х для произвольного состояния. По общей формуле (41.2) имеем

^(0 = 22* Ю (0 = 21] <й (0) дгяж (0 ся (0). (48.12)

т п

т п

На основании сказанного о матричных элементах хтп (t) среднее значение х будет гармонической функцией времени с частотой со0. Иначе говоря, х зависит от времени так же, как зависит от

времени координата классического осциллятора1):

x(t)=a cos (со0/ + ф), (48.13)

где а — амплитуда, ф —фаза.

Матрица оператора импульса в «?»-представлении может быть найдена либо путем вычисления интегралов

Ртп = \ ГтРЖ dx=- 1П § Гт ^ dx, (48.14)

либо, более просто, на основании квантовых уравнений движения. Согласно этим уравнениям

Р = (48.15)

т. е.

рт^Щ\п. (48.16)

Пользуясь формулой (42.11), находим

Ртп = Штп№тп, (48.17)

или

Ртп = (т - п) хтп. (48.18)

Разумеется, вычисление интегралов (48.14) ведет к тому же результату.

§ 49. Движение в поле центральной силы

Поле центральной силы характеризуется тем, что потенциальная энергия частицы в таком поле зависит лишь от ее расстояния г от некоторого центра (силового центра). Законы движения в поле центральной силы образуют фундамент атомной механики: решение общей задачи о движении электронов в атоме опирается в той или иной мере на результаты, относящиеся к движению одной частицы в поле центральной силы.

Обозначая через U (г) потенциальную энергию частицы, мы

можем написать оператор полной энергии Н (33.12) в виде

й=Тг + ^ + и(г), (49.1)

х) Этот же результат мы можем получить непосредственно из теоремы Эренфеста. Уравнение (34.1) для осциллятора принимает вид

откуда путем интегрирования находим

х=а cos (оу+ ф)«

где М2 есть оператор квадрата момента импульса, a tr — оператор кинетической энергии для радиального движения.

Из общей теории интегралов движения (§ 33) следует, что интегралами движения в поле центральной силы будут: полная энергия Е и момент импульса (т. е. М2, MXi Myt Mz). Мы поставим себе задачу найти стационарные состояния частицы, движущейся в поле U (г).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в нашем случае имеет вид

^* + ^t + l/(r)* = Ј». (49.2)

Волновую функцию я|) естественно искать как функцию сферических координат г, 0, фГ Мы должны найти однозначные, непрерывные и конечные решения г|э уравнения (49.2) во всей области изменения переменных г, б, ф, т. е. в области 0^/-^оо, 0^

А А

s^e^.ji, 0^ф^;2я. Так как операторы Н и М2 коммутируют, то они должны иметь общие собственные, функции, поэтому мы можем написать второе уравнение для г|):

М2Ц = М2Ц>. (49.3)

Собственные значения М2, согласно § 25, равны U2l(l-\-\), так

что вместо Л12г|) мы можем подставить в (49.2) величину %Ч (/ + + 1)я|). Тогда мы получаем уравнение

+ * + Я*. (49.3')

Это уравнение содержит явно" лишь одну переменную г. Полагая теперь

4>(г, 6, ф)-Я (г) У|Я| (в, ф), (49.4)

где Ylm(B, Ф) есть собственная функция оператора М2, мы одновременно удовлетворяем и уравнению (49.3), и уравнению (49.3'), если функция R (г) удовлетворяет уравнению

f'R + ЩР1 K + V(r)R = ER. (49.5)

Это уравнение получается путем деления (49.3') на Ytm. Мы будем называть его уравнением Шредингера для радиальной функции R(r).

Напомним (см. § 25), что функции Ytm являются также собственными функциями одной из проекций момента импульса, именно —при нашем выборе координат проекции Мг. Поэтому в поле центральной силы полная энергия, квадрат момента импульса и проекция момента импульса на некоторое произвольное направление 0Z являются величинами, одновременно измеримыми.

Возможные значения энергии Е определяются из уравнения (49.5) и зависят от вида U (г). Они, кроме того, могут зависеть от величины момента импульса М2 (через число /), но они не могут зависеть от проекции момента импульса Мг (и, следовательно, от числа т): Mz не входит в уравнение (49.5). Это объясняется тем, что мы имеем дело с полем, обладающим центральной симметрией, так что все направления в пространстве физически равноправны, и поэтому энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса. Для дальнейших выводов мы должны более подробно определить вид U (г).

Во всех реальных физических системах взаимодействие на бесконечно больших расстояниях бесконечно мало. Это означает, что асимптотически (при г-+оо) потенциальная энергия принимает постоянное значение

U (г)^сс = const = С, (49.6)

где С — произвольная постоянная, определяющая уровень потенциальной энергии в бесконечности.

Мы -увидим, что характер решения уравнения (49.5) существенно зависит от того, больше или меньше полная энергия Е значения потенциальной энергии в бесконечности (С). Так как С

страница 49
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
аренда проэктора
Компания Ренессанс купить лестницы - надежно и доступно!
кресло 593
Вся техника в KNSneva.ru Office Kit - г. Санкт-Петербург, ул. Рузовская, д.11.

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(11.12.2016)