химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ь дискретные значения (47.6). Но, согласно (47.4), этот параметр определяет энергию. Сравнивая (47.4) и (47.6), находим, что возможные значения Еп суть

?я = /Ц>(я+у)> п = 0, 1,2, 3,... (47.10)

Эта формула показывает, что энергия осциллятора Е может иметь лишь дискретные значения. Число п, определяющее номер квантового уровня, называют главным квантовым числом.

Окончательно мы запишем собственную функцию, принадлежащую п-му собственному значению и данную в «^-представлении, в виде

_!!

».(*)=-^-Яя®, (47.11)

где Ъ = х/Хо.

Эти функции 'нормированы так, что

5 (х) dx=\.

—оо

Обратим внимание на четность волновых функций осциллятора. Как легко видеть из формул (47.11) и (47.8), четность состояний осциллятора определяется четностью главного квантового числа /г.

Пользуясь формулами (47.7) и (47.8), выпишем несколько собственных функций вида (47.11)

фо (х) = * е~ХГ/2ХК п = 0, (47.12)

V х0ул

ург (х) = 1/J— е~х2/2х1.2 • f, п = 1, (47.12')

(х) = 1 e~xa/2xl U% -2), п = 2. (47.12")

Первая функция не обращается в нуль нигде (кроме х = ±оо). Вторая обращается в нуль при х = 0. Точку, где волновая функция обращается в нуль, будем называть узлом. Третья функция

обращается в нуль при х = ± и имеет, стало быть, два узла.

г) Всегда номер собственной функции равен числу узлов. Общее доказательство этой теоремы см. у Р. Куранта и Д. Гильберта, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1951, стр 382—386.

Мы замечаем, что число узлов равно номеру функции п. Это свойство справедливо для любого /г1). Таким образом, главное

квантовое число равно числу узлов собственной функции. Эти волновые функции изображены на рис. 23, а. Вид функций ^п(х) аналогичен виду функции Un (х), изображающей колебание закрепленной на концах струны.- Для сравнения на рис. 23, б приведена функция Un (х) для основного тона (я = 0), первого обертона (/г=1) и второго обертона (п = 2).

Обнаруживающаяся аналогия между колебаниями струны и волновой функцией осциллятора не является случайной. Она обусловлена двумя обстоятельствами. Во-первых, в обоих случаях дело идет об одном измерении. Во-вторых, колебания струны — это собственные колебания. Согласно общей теореме об узлах собственных функций (см. примечание на стр. 186) число узлов функции а|)л (х) и функции Un (х) должно быть одинаково.

в

о

Чтобы получить более полное представление о квантовых состояниях осциллятора, мы приводим на рис. 24 потенциальную функцию осциллятора

U(x) =

По.оси-ординат отложена потенциальная энергия, а по оси абсцисс отклонение х. На этом же рисунке горизонтальными линиями изображены уровни энергии Еп (47.10) для разных п. Такие диаграммы, на которых изображается одновременно энергетический спектр и потенциальная энергия, употребляются довольно часто. Они позволяют произвести простое сравнение с классической картиной движения. Рассмотрим, например, уровень Еъ Согласно классической механике, частица, имеющая энергию Еи могла бы быть обнаружена лишь в области АВ. В самом деле, А и В суть точки, где потенциальная энергия равна полной. В этих точках кинетическая энергия Т равна нулю, так как

E = T + U, T = E-U. (47.13)

Точки Л и В называются точками пово рота. Очевидно, ОА=ОВ есть амплитуда колебания частицы, имеющей энергию Ег.

Вычислим вероятность w (х) dx найти частицу в области х, x-\-dx по классической механике. Эта вероятность пропорциональна времени dt, в течение которого частица проходит отрезок dx. Если период колебаний есть Г = 2я/со0, то мы можем положить

w»Mгде у —скорость частицы. Выразим v как функцию х. Имеем

# = asinoy, (47.15)

где а — амплитуда колебаний

"вУ S5P

Из (47.15) имеем

v — ащ cos со0/, (47.16)

т. е. опять-таки по (47.15)

0 = ^1^1(47.17)

Следовательно,

1 dx

w*A(x)dx=%Ј— ~, -а^х^ + а. (47.18)

У Ч?

Эта вероятность изображена на рис. 25. Наибольшая вероятность приходится, как и следует ожидать, на точки поворота Л и В.

Вероятность найти частицу в области х, x-\-dx по квантовой механике равна (для п=\)

шкв (х) dx = я|>; (х) dx, причем "фх следует взять из (47.12'). Следовательно,

wKAx)dx^e-""l%f. (47.19)

График этой вероятности также изображен на рис. 25. Как видно, квантовая вероятность также имеет максимумы около классических

точек поворота ^точно, для Ех = ~ Н(д0, OA = OB = |/~а ОА'^ОВ

\1Щ

но, в отличие от классического случая,

вероятность найти частицу отлична от нуля и за точками поворота. Это обстоятельство не представляет в квантовой механике какого-либо противоречия, так как равенство (47.13) в квантовой механике не имеет силы: кинетическая энергия Т и потенциальная U не являются одновременно измеримыми величинами.

А, В ^-\Точки поворота, А', В'-г точки максимума и> .

Особенно сильно подчеркивается различие между квантовым и классическим случаем, если рассмотреть состояние с наименьшей энергией. По классической теории наименьшая энергия осциллятора есть Е — 0 и соответствует покоящейся в положении равновесия частице. Вероятность wKJl (х) в этом случае имеет вид, приведенный на рис. 26. Она всюду равна нулю, кроме точки х = 0. По квантовой теории наименьшая энергия осциллятора есть

она называется нулевой энергией. Вероятность wKB(х) в этом случае равна

Она также приведена на рис. 26.

Выясним подробнее свойства нулевой энергии. Очевидно, что эта энергия не может быть отнята от осциллятора, ибо по своему существу она есть минимальная энергия, которую может иметь осциллятор. Ее можно отнять, лишь изменяя сам осциллятор, именно, уменьшая частоту ш0. т. е. путем изменения коэффициента упругости. Существование нулевой энергии является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей

(5рр - (335* $5 (47.20)

В самом деле, средние значения р и х в состоянии с определенным значением энергии равны нулю:

OJ = J tynxtyn dx = $ tylx dx = 0 (47.21)

(что следует из нечетности подынтегральной функции),

р = J цпРх$п dx = - ih J фл ^ dx = [ - ? № (x)]^l = 0. (47.22)

Поэтому для осциллятора соотношения неопределенностей (47.20) можно переписать в виде

J2-~x2^Jj. (47.20')

С другой стороны, средняя энергия осциллятора равна

Из сопоставления (47.20'). и (47.23) непосредственно видно, что, уменьшая потенциальную энергию, мы увеличиваем кинетическую, и наоборот. В частности, состояние с наименьшей потенциальной энергией U = 0 есть состояние с бесконечно большой кинетической энергией Т = оо. Объединяя (47.20') и (47.23), получаем

<47-24>

Отсюда легко найти минимальное значение Е. Именно, из получаем

minE^^-0, (47.25)

т. е. нулевая энергия есть наименьшая энергия, совместимая е соотношением неопределенностей.

Примером частиц^ совершающих малые колебания, могут служить атомы в молекуле или в. твердом теле. Экспериментально удается доказать наличие нулевой энергии и нулевых колебаний атомов путем наблюдения рассеяния света кристаллами. Рассеяние света обусловлено колебаниями а

страница 48
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
трудовой спор консультация юриста
водительские справки для гибдд купить
devon
222101-01

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)