химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

46.15') и (46.13) очевидна.

Классический ансамбль Гиббса и квантовый смешанный ансамбль по своему существу (набор независимых систем) тождественны.

Поэтому оператор р по аналогии с плотностью вероятности D

и называют оператором плотности. Более полно связь между р и D может быть установлена, если вместо рхх> ввести матрицу R (р, х), строки которой нумеруются импульсом, а столбцы координатой

.р(х—X')

*) Если, конечно, не произведено выбора подсовокупности, скажем, с М=Мп. При таком отборе полученный после измерений ансамбль будет чистым (с ф = фл (*)).

2) Мы пишем в обозначениях, соответствующих ансамблю систем с одной степенью свободы х. Под р и х можно подразумевать совокупность импульсов и координат всех частиц, входящих в систему.

R (р, х) = ^ р^- dx'. (46.16)

Тогда

$tf(p, x)dp = \pxx-6(x-x')dx' = w(x), (46.17)

^R (р, х) dx = ^ р,^* 2ftft = ррР = w (р), (46.17')

где а> (х) и ш (р) — плотности вероятности для координаты х и для импульса*) р. Эти формулы совершенно аналогичны классическим:

J D (р, х) dp = шкл (х), $ D (р, х) dx = wKn (р). (46.18)

Более того, можно показать, что матрица R (р, х) подчиняется уравнению, которое при определенных условиях (гладкость полей и гладкость самой функции R (р, х)) превращается в классическое уравнение (46.15')2). Поэтому величина R (р, х) вполне аналогична классической вероятности (плотности вероятности) D (р, х), и ее можно^ рассматривать как обобщение понятия вероятности на случай одновременно неизмеримых величин («квазивероятность»).

Величина же р**' аналогична компонентам Фурье от плотности D (р, х), т. е. величине

г) Чтобы получить (46.17'), следует иметь в виду, что

.рх'

2) Матрица R (р, х) была введена автором книги (см. J. Phys. USSR 2, 71 (1940)).

А**' = [ D (р, х) е~~1 dp. (46.19)

Глава VIII

ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ

§ 47. Гармонический осциллятор

В этой главе будут рассмотрены простейшие задачи атомной механики, относящиеся к движению частиц в поле потенциальных сил. Если силы не зависят от времени, то основной задачей атомной механики будет задача нахождения стационарных состояний системы. Действительно, в этом случае, согласно (30.8), произвольное состояние я|з (х, t) может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний с постоянными амплитудами сп\

Ц>п(х, t)=sipn(x)e~l~ir9

где tyn (х) суть волновые функции стационарных состояний, а Еп —• соответствующие значения энергии. Волновые функции ^(х) —

это собственные функции оператора энергии Н. Они определяются, согласно (30.4), из уравнений Шредингера для стационарных состояний

Задача о нахождении стационарных состояний есть вместе с тем задача о нахождении спектра энергии Е.

Особое значение этой задачи для атомной механики заключается в том, что в противоположность классической механике квантовая механика приводит во многих случаях к квантованию энергии, т. е. к дискретному спектру ее значений Elt Е2, ...» Еп, ... Эти значения часто называют квантовыми уровнями или уровнями энергии.

Если система (например, электрон в атоме, молекула и т. п.), обладающая таким спектром энергии, подвергается извне слабому воздействию, то ее квантовые уровни не меняются (точнее, меняются мало). Однако благодаря внешнему воздействию система может переходить с одного уровня на другой, так что ее состояние может измениться значительно. Вероятности этих переходов мы вычислим позже.

Нахождение же возможных значений энергии позволит нам сразу сказать, каковы возможные изменения энергии рассматриваемой нами системы, если между ней и какой-либо другой системой или внешним полем установлена слабая связь1). Так, если найденные уровни энергии будут Еи Е2, ..., Еп, ..., Ету ..., то обмен энергий возможен лишь порциями:

Д?" — Ет Е п.

Рассмотрим простейший случай движения частицы в потенциальном поле— гармонический осциллятор. В классической механике гамильтонова функция одномерного гармонического осциллятора имеет вид

Здесь рх — импульс частицы, ц — ее масса, х — отклонение от положения равновесия, а со0 — собственная частота (циклическая) осциллятора.

Заметим, что гармонический осциллятор, поскольку речь идет о механических колебаниях, является идеализацией, так как значение потенциальной энергии U = ^~ х2 означает, что по мере

удаления от положения равновесия сила неограниченно возрастает. Во всех реальных случаях, начиная с некоторых значений амплитуды, появляются заметные отступления от гармоничности, а при больших значениях х сила взаимодействия стремится к нулю (а V — к постоянной величине). Однако для небольших амплитуд колебаний х вполне можно пользоваться представлением о гармоническом осцилляторе.

Теория гармонического одномерного осциллятора имеет большое значение в приложениях, так как подходящим выбором координат («нормальные координаты») движение любой системы частиц, совершающих малые колебания, может быть сведено к движению совокупности независимых осцилляторов2).

В квантовой механике под одномерным осциллятором мы будем

х) Если связь между системами сильна, то мы имеем одну целую систему. Если внешнее поле велико, то уровни в системе заметно меняются. Поэтому предположение о слабости связи является существенным.

2) См. § 109. Теория квантовых гармонических осцилляторов находит важное применение в квантовой теории поля.

понимать систему, описываемую оператором Гамильтона Я, равным, в полной аналогии с (47.1),

Я = | + ^М (47.2)

где Рх — оператор импульса, а X — оператор координаты1). Соответственно этому гамильтониану уравнение Шредингера в <ш>-представлении для стационарных состояний осциллятора имеет вид

+ (^3)

Для решения этого уравнения введем безразмерные величины

x°=Y-ik' я=ё- (47-4)

Обозначая дифференцирование по ? штрихом и рассматривая г|э как функцию ?, после элементарных преобразований мы приведем уравнение (47.3) к виду

?* + (Я-Р)Ф = 0. (475)

Нам нужно найти конечные, непрерывные и однозначные решения этого уравнения в интервале — со <;?<;-т-со- Такие решения уравнение (47.5) имеет не при всех значениях параметра Я, а лишь при

А, = 2л+1, п = 0, 1, 2, 3, (47.6)

причем соответствующие функции г|?л равны

(47.7)

где #„(|) есть полином Чебышева — Эрмита/г-го порядка2), определяемый формулой

.НЛ) = -^Ж^е^, (47.8)

при этом множитель перед ё& выбран так, что функция tyn(l) нормирована по g к 1:

-{-со -{-со

г) Может возникнуть вопрос: почему имеет смысл называть систему с гамильтонианом (47.2) гармоническим осциллятором? Ответ заключается в том, что система, описываемая гамильтонианом (47.2), излучает и поглощает только одну частоту со0 (см. § 90, А) и при Й-*-0 переходит в классическую систему с гамильтоновой функцией (47.1) (ср. §§ 34, 35).

2) Подробности, касающиеся решения уравнения (47.5) и в особенности требования (47.6), изложены в дополнении IX.

$ *i (Е) 4 = $ ^ * (?) 4=1. (47.9)

Таким образом, одного требования непрерывности и конечности а|) оказывается достаточно, чтобы параметр к получал лиш

страница 47
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
купить газопеноблоки цена
электропривод belimo sy12-230a-3-t
концерт мерлина мэнсона 2017 в москве
кинотеатр премиальный

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(28.06.2017)