химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ь унитарностью оператора S: S+ = S л.

Частный случай перехода от представления Шредингера к представлению Гайзенберга был рассмотрен в § 42. Гамильтониан Я был приведен там к диагональному виду, поэтому

— - Е t

оператор S (t> 0) оказался равным е п п Ьпт.

Помимо шредингеровского и гайзенберговского представлений находит применение, особенно в квантовой теории поля, представление взаимодействия. Суть его заключается в еле А

дующем. Пусть гамильтониан Я имеет вид

Я = Я0 + #(*, 0,

А

причем уравнение Шредингера с гамильтонианом Я0

А

решается точно, а оператор W (*, t) является малым возмущением1). В этом случае волновую функцию i|? (х, t), подчиняющуюА

ся нестационарному уравнению Шредингера с оператором Я = = H0-{-W (х, t), целесообразно искать в виде

i *

ф(х, t)=e~bHo%(xy t). (45.6)

Действительно, подставляя (45.6) в уравнение

ift^^==(H0 + W(x, f))$(x9 /),

получим

iH^Jl=V(x, t)Q>(x, I), (45.7)

где

A A

]) Например, Н0 описывает свободное движение частицы, a W (х, t) описывает воздействие слабого внешнего поля.

V(x, t)=e^°'w(x, t)e-*™ есть оператор энергии возмущения в представлении взаимодей-ствия? а Ф(х, /) —волновая функция в том же представлении.

Так как возмущения W (х\ t) и V (х, f) считаются малыми, то преобразование (45.6) и (45.7) позволяет перейти к медленно-меняющейся волновой функции Ф(х, /) (при У = 0 Ф(х, t) попросту постоянна).

Таким образом, в представлении взаимодействия и операторы и волновые функции явно зависят от времени. При этом изменение операторов во времени определяется «свободным» гамильтонианом Но:

а возмущение W (х, t) обусловливает временную зависимость волновой функции

МдФв^' 0=^вэ(^ 0Фвз(*, t).

В § 83, где рассматривается теория квантовых переходов под воздействием слабого возмущения, используется переход к представлению взаимодействия. Это преобразование выполнено

там в энергетическом представлении, поэтому операторы е~ п

-I- — Е t

сводятся к числам е~ л п .

§ 46. Матрица плотности

Пусть оператор L дан в координатном представлении в виде матрицы Lx'X. Среднее значение La в состоянии г|)а (х) будет (ср. (41.2"))

La = J J dx' dx^t (х') Lx>x% (х). (46.1)

Если из чистых ансамблей, характеризуемых волновыми функциями г|эа, образовать смешанный ансамбль такой, что каждое чистое состояние будет представлено с вероятностью Рау то среднее значение L в смешанном ансамбле будет (ср. (22.18))

Z = 2 = 2 р*\\ dx dx'^ (*') L^a (х) (46.2)

а а

(при условии 2-Ра— Равенство (46.2) можно переписать

в следующем виде:

L=\\dx' dxpxx>Lx>Xt (46.3)

где р**- равно

Рх^2Яо«М«оМ (46.4)

а

Оператор р, представляемый матрицей с элементами р^ (46.4), называется оператором плотности1).

Выражение (46.3) есть не что иное, как сумма диагональных

элементов оператора р?.

Поэтому мы можем написать (46.3) в виде

Z = Sp(pL). (46.5)

В другом представлении, разлагая~ij)a (х) по собственным функциям \рл (х) некоторого оператора М, имеющего дискретный спектр собственных значений Мъ М2, Мп, получим из (46.2)

^SIISW^, (46.6)

а т п

т. е.

Pram == У_\ ?» aCamCani

(46.7)

a

где сап суть амплитуды в разложении tya(x) по- ц>п(х). Стало быть, в этом представлении имеем

? ~ 2 2 PnmLmn = Sp ( pl). (46.8)

т п

Диагональный матричный элемент матрицы р имеет смысл вероятности (или плотности вероятности).

Действительно, полагая в (46.4) х' — ху найдем

Р** = Ц Л* I % (х) |2 - w (х), (46.9)

a

т. е. плотность вероятности для координаты х в смешанном ансамбле. Подобным же образом из (46.7)- получаем

Рпп = Хр*\с*п\2 = и>п, (46.10)

a

т. е. вероятности найти в смешанном ансамбле значение М = Мп.

Рассмотрим теперь, как будет меняться оператор р с течением

времени. Матрица (46.4) определяет р для какого-то момента времени, который мы можем принять за начальный (^ = 0). Смешанный ансамбль, описываемый этой матрицей, есть набор независимых систем, каждая из которых находится (с вероятностью Ра) в одном из чистых состояний tya(x)=tya(x, 0). Система, находившаяся в момент ^ = 0 в чистом состоянии ^а(х, 0), в момент

J) Этот оператор был введен Нейманном (см. I. V. Neumann, GDU. Nachr., 1927).

/>0 будет также находиться в чистом состоянии t|?a(x, t), которое можно найти из уравнения Шредингера

ifl^p-H = J Нхх^а (х\ 0 dx" (46.11)

или для сопряженной функции i|$(*', 0 из сопряженного уравнения

dib* (х' t) С

Здесь НХ'х" есть матричный элемент гамильтониана в «х»-пред-ставлении.

Вероятности же Яа, будучи вероятностями начальных данных (Ра есть вероятность того, что при / = 0 система находится в состоянии i|)a(*, 0) = t|)a (*)), конечно, не зависят от времени1). Поэтому в момент t>0 матрица р будет равна

9хх> (t) = SрМ (х'9 t)фа (х, /). (46.4')

Дифференцируя это уравнение по времени и выражая с помощью (46.11) и (46.1 Г) производные волновых функций через оператор Гамильтона, найдем

%^ = ^ jj Нхх»рх»х> dx" -1 J ptrHr* dx" (46.12)

(при этом мы воспользовались тем, что Щ>х" — Нх»Х') или в операторной форме

а|=-[Я, р], (46.13)

где [Я, р] есть квантовая скобка Пуассона.

Это операторное уравнение позволяет определить оператор р для любого момента времени, если он известен при ^ = 0.

А.

Преимущество описания ансамбля посредством оператора р в сравнении с описанием с помощью ^-функции заключается в том,

что оператор р позволяет единообразно рассматривать как смешанные, так и чистые ансамбли.

Обратимся теперь к тем изменениям в операторе р, которые возникают в результате измерения. Пусть производится полное измерение (измерение величины или набора величин М). Пусть

*) Однако Ра могут изменяться в результате измерений. См. ниже.

собственные функции оператора М будут фл (х). Тогда вероятность найти М — Мп будет (46.10). После измерений возникает новый смешанный ансамбль, в котором новые чистые состояния ц>п(х) будут представлены с вероятностями wn, т. е. после измерения*)

Р^ = 2вд>!(*')ф*М. (46.14)

и мы получаем совершенно новый смешанный- ансамбль.

В квантовой статистике состояния никогда не характеризуются полным измерением. Поэтому там всегда имеют дело со смешанными ансамблями. В силу этого оператор плотности р приобретает особо большое значение именно в квантовой статистике.

С помощью матрицы плотности можно описать не только движение микрочастицы, но и макроскопических систем, а также взаимодействие микросистем с макроскопическими системами.

Как известно, в классической статистике ансамбль независимых систем (который обычно называют ансамблем Гиббса) характеризуется плотностью вероятности D(p, х) такой, что величина D(p, х) х X dpdx имеет смысл вероятности найти систему с импульсом, лежащим около р, и координатой, лежащей около 2) х. Согласно теореме Луивилля эта плотность является постоянной, так что

+ [Я, Я]кл = 0, (46.15)

r„ m дН dD дН dD * п

где [л, D]KJi = -fyfa ~ ~dx~~fyj есть классическая скобка Пуассона.

Из (46.15) следует, что

f = -[#, D]KJl. (46.15')

Аналогия между (

страница 46
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кресло 992
Фирма Ренессанс: лестница oslo - качественно, оперативно, надежно!

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(29.04.2017)