химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

будет равна квадрату модуля коэффициента с,„ (/) разложения функции ф (х, t) по функциям cprt(x). Этот коэффициент равен

= $ср? *о) Фл (х) dx = Smn (/, t0), (44.9)

т. е. амплитуда ст (t) равна матричному элементу унитарного

А

оператора S, взятому между состояниями пит.

Отсюда следует, что вероятность найти L = Lm в момент t, если в момент t^=t0 L=^Ln, будет выражаться формулой

Ртп Q = I Ст (t) |2 = I Smn (t, tQ) |2. (44.1 0)

Эта вероятность называется вероятностью квантового перехода из состояния L = Ln в состояние L = Lm.

В квантовой статистике широко используется так называемый принцип детального баланса. Согласно этому принципу вероятность перехода из состояния п в состояние т равна вероятности перехода из состояния т в состояние п за тот же промежуток времени. На самом деле этот принцип имеет весьма ограниченное значение. Он верен лишь в первом приближении теории возмущений. Он верен также в некоторых специальных случаях, например, когда силы, действующие между частицами, — центральные.

Принцип детального баланса был бы верен точно в том случае, если бы матрица 5 была бы эрмитовой. На самом деле она есть матрица унитарная; поэтому величина ] Smn |2, вообще говоря, не равна величине | Snm |2.

Отсюда не следует делать заключения о необратимости квантовой механики. Известно из классической механики, что если силы не зависят от скоростей, то изменение скоростей всех частиц на обратные ведет к тому, что все движение воспроизводится в обратном порядке.

Можно' доказать, что при этих же условиях и в квантовой механике имеет место совершенно такая же обратимость. Именно, вероятность за время / перейти из состояния, характеризуемого импульсами частиц р}, p!j, ... (состояние а), в состояние с импульсами рх, р2, ... (состояние р) равна вероятности за такой же отрезок времени перейти из состояния, характеризуемого обращенными импульсами —ръ —р2, ... (обращенное состояние р), в состояние с импульсами —pi', —р?, ... (обращенное состояние а)1).

Из краткого очерка унитарных преобразований видно, что весь математический аппарат квантовой механики может быть сформулирован на языке операторов, представленных в форме матриц и на языке унитарных преобразований.

§ 45. Гайзенберговское представление и представление взаимодействия в квантовой механике

В этой книге почти повсюду принято такое описание кванто2) См. по этому поводу работу автора, ЖЭТФ 17, 924 (1947), где подробно рассмотрен этот вопрос.

вых систем, в котором операторы L, сопоставляемые классическим динамическим переменным, не зависят от времени. Всю информацию о временном развитии системы несет волновая функция гр (л:, /), явно зависящая от времени и удовлетворяющая нестационарному уравнению Шредингера (28.3). Такой способ описания называется шредингеровским представле§ 451

ГАЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

175

нием операторов L и волновых функций ф (х, t). Аналогом ему в классической механике является метод Гамильтона — Якоби, в котором основную роль играет функция действия S (х, t), подчиняющаяся уравнению Гамильтона — Якоби (см. § 35).

Помимо этого в классической механике широко используются лагранжев и гамильтонов подходы. Оказывается, что им также можно сопоставить квантовые формализмы. Построение квантовой механики в рамках лагранжева подхода рассматривается в конце книги в § 138 (так называемая фейнмановская формулировка квантовой механики). Что касается канонических уравнений Гамильтона, то, как было показано в § 32, эти уравнения имеют место и в квантовой теории (см. (32.2) и (32.2')). Однако в принятом нами шредингеровском представлении эти уравнения не описывают эволюцию операторов во времени, а определяют

dX dP А л А

новые операторы и через Х> Я — — ih\ и Н.

Гайзенберг еще на первом этапе развития квантовой механики (1927—1929) применил метод канонических уравнений Гамильтона для нахождения квантовых операторов как функций времени и для определения собственных значений оператора

энергии Н.

Для этого он использовал представление операторов в виде (42.12). Уравнения Гамильтона (32.3) и (32.2') в этом представлении записываются следующим образом:

(45.1) (45.2)

А А

Матричные элементы операторов Р и X зависят теперь от времени согласно (42.12). Задача заключается в нахождении матриц Я, P(t) и X(t), удовлетворяющих этим уравнениям и дополнительным условиям

[X, Рх)=1 [У, Рх} = 0 и т. д. В матричной форме эти скобки принимают вид

\.Х, Рх\тп — &тт

[Y, Рх]тп = 0 И Т. Д.,

причем умножение операторов X и Д представленных в матричной форме (42.12), должно выполняться по правилу умножения матриц (40.11).

В подавляющем большинстве случаев решить дифференциальное уравнение Шредингера оказывается значительно легче, чем найти решение матричных уравнений (45.1) и (45.2).

Однако в квантовой теории поля область применения гайзен-берговского представления более широка. Поэтому мы сформулируем здесь связь представления Гайзенберга с обычным шредин-геррвским. При этом будет использован аппарат унитарных преобразований по времени (см. § 44).

В некоторый момент времени /0 операторы в обоих представлениях должны совпадать. Пусть это будет при /0 = 0. Волновую функцию в этот момент обозначим Ф(х): Ф (х) =ty (х, 0). В момент времени / эта функция, согласно (44.1), может быть и представлена в следующем виде:

i *

А А Hi

ф(л\ t) = S(tt О)Ф(х), где S(tt 0)=е h . (45.3) Далее возможны два пути.

Можно взять операторы L не зависящими от времени и пользоваться при вычислении матричных элементов волновыми функциями ty(x, t). В результате получим шредингеровское представление.

Другой путь состоит в перенесении всей временной зависимости на операторы с помощью преобразования

L(/) = S-l(*f 0)LS(/, 0). (45.4)

В этом случае волновые функции Ф(х) не зависят от времени. Такое представление операторов и волновых функций называется гайзенберговским представлением.

Дифференцируя (45.4) по времени, получаем уравнение движения для гайзенберговских операторов

4f + L®], (45.5)

где [Я, L (t)\ =^r(L(t) Н — HL (/)) — квантовая скобка Пуассона (31.5).

Уравнение (45.5) формально совпадает с (31.7). Однако смысл этого уравнения теперь иной: оно не служит определением ноdL » *

вого оператора а описывает эволюцию гаизенберговского оператора L (t) во времени.

*) В этой связи следует подчеркнуть, что матричные элементы операторов определяют физически наблюдаемые величины, поэтому не могут быть различными в эквивалентных представлениях.

Эквивалентность обоих методов вытекает из равенства матричных элементов операторов в шредингеровском и гайзенбергов-ском представлениях1). Действительно, в представлении Шредингера матричный элемент L12 оператора L для любых двух состояний *J>i(x, t) и i|?2(*. t) равен

^12 = \ Ф* (*. О ?Ф2 (х, t) dx.

Выражая здесь ty* (х, t) и г|?2 (*, /) через Ф? (л*) и Ф2 (х) с помощью (45.3), найдем

LI2 = J ФТ W 5+ 0) LS (*, 0) Ф2 (х) dx =

= $Ф? (*)L(0Oa(x)dx===Lu(/).

При этом мы воспользовалис

страница 45
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
участки новая рига 70 км
B94 2CAN SLAVE
установка катализатора бмв
курсы косметолога

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)