химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

бственными значениями М, а столбцы — собственными значениями L. На основании (43.6) формула преобразования от Gmn к Gap (43.5) может быть написана в виде

Cap = 2 2 (S+)a/A/Ap> (43.7)

т п

или, на основании правила умножения матриц, в матричном виде

(T = S+G'S. (43.8)

Таким образом, матрицу S и сопряженную ей матрицу Sr можно рассматривать как матрицы, с помощью которых совер

шается преобразование оператора от одного представления («L») к другому («Л4»). Матрица 5 обладает важным свойством. Перемножая функции (pj(*) и Фр W и интегрируя результат по х, на основании ортогональности собственных функций мы получаем

2 2 Sma$n$mn = $а|3> (43.9)

т п

ИЛИ

25^р = баР, (43.10)

п

т. е. в матричной форме

5+5 = 1. (43.11)

Подобным же образом, разлагая функции г|)л (х) по функциям Фр(х), можно убедиться, что

У Sma5an = 0\яя, (43.12)

a

т. е.

55+= 1. (43.11')

Матрица, удовлетворяющая условиям (43.11) и (43.1 Г), называется унитарной. Так как произведение 5+ на 5 или 5 на S+ дает единичную матрицу, то 5+ есть матрица, обратная 5, т. е.

S+ = S-K (43.13)

Заметим, что унитарная матрица не является эрмитовской, так как для эрмитовской матрицы вместо (43.13) мы имели бы 5+ = 5. На основании изложенного мы можем сказать, что преобразование оператора от одного представления к другому совершается с помощью унитарной матрицы 5 с элементами (43.4). Само преобразование (43.8) называют унитарным.

Формулу (43.1) можно также рассматривать как унитарное

преобразование от координатного представления к «?»-представл. / д \

лению. Для этого достаточно написать оператор G1^—х) в матричной форме. Тогда вместо (43.1) получим

Gmn = S J * (*') Gx'x^n (х) dx dx'. (43.1')

Полагая SmX' = tym{x') и Sxn = tyn(x), мы приведем преобразование (43.Г) к виду (43.8). Таким образом, волновые функции фт (*), Ф« (х) суть не что иное, как матричные элементы унитарных матриц S+ и 5, преобразующих от координатного представления к «^-представлению.

Выше (§ 41) уже было отмечено, что задачу о нахождении собственных значений любого оператора можно рассматривать

§ 441 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 171

как задачу о приведении матрицы, изображающей оператор, к диагональному виду. В терминах унитарных преобразований эта задача может быть формулирована так: найти унитарное

преобразование S, которое преобразовало бы матрицу оператора G к. диагональному виду. Чтобы найти это преобразование, умножим уравнение (43.8) слева на S. Пользуясь (43.1 Г), получим

SG" = G'S, (43.14)

или в раскрытом виде

2^aCap = 2Cw?Ap. (43.15)

а п

Если матрица Gap диагональна, то

Зта@аа = 2 GmnSna. (43.16)

п

Так как собственные значения Gaa нам неизвестны, то нам следует опустить индекс а, и мы получим

SmG = ЈG*nSn, (43.17)

что совпадает с уравнением (41.4), если положить G = L, Sn^=cn.

Отметим одно важное свойство унитарного преобразования: унитарное преобразование оставляет неизменным сумму диагональных элементов матрицы. Эту сумму называют следом (или шпуром») матрицы и обозначают так:

п

Из (43.7) имеем

У] Gau ~ У! XI У] (5+)am GmnSna = 22 Стл 2 (S+)am Sna =

а а т п т п а

= 22 Gmtfimn =J]Gnn, (43.19)

т п п

т. е. след матрицы есть инвариант унитарного преобразования. Этим свойством часто пользуются в приложениях.

§ 44. Унитарные преобразования от одного момента времени к другому. Матрица рассеяния

Изменение волновых функций с течением времени может быть также рассмотрено с помощью унитарного преобразования. Пусть (•**» ^о) есть волновая функция в момент времени t0, а г|? (х, t) — та же функция в момент времени /. Положим

t) = S(t, t0)y(xt /0), (44.1)

где S(t, t0) — ecTb унитарный оператор. В простейшем случае, когда гамильтониан системы Н не зависит от времени, оператор S t0) имеет вид

U)^e~^U(t~to\ (44.2)

Действительно, вычисляя частную производную по времени от функции (44.2), найдем

Следовательно, ip (л:, t) удовлетворяет временному уравнению Шредингера. Далее, из (44.1) и (44.2) следует, что соблюдено начальное условие ф (*, t) — ty(xt t0) при t = t0. Наконец, из эрми-товости оператора Гамильтона вытекает унитарность оператора

S (t, /0)".

S+(t, g==^"+tf-/e) = e-iAtf-'w==s-1(/, t0). (44.4)

Разобьем интервал времени /, t0 на меньшие интервалы ^i — ^o» h — ht •••» ^ — f*. Тогда формулу (44.1) можно записать в виде

ф(дг, = У 5 ... S(*2, h)S(tu t0)y{xt to). (44.5)

Следовательно, движение квантовомеханического ансамбля можно рассматривать как последовательность унитарных преобразований.

Важный специальный случай преобразования (44.1), имеющий особенное применение в теории рассеяния частиц, возникает, если начальное состояние задано не при t0 = 0, а при t0 = — со, а конечное состояние ар (х, /) рассматривается при / = + 00. В этом случае (44.1) запишется в виде

ф(л\ + оо) = &|) (*, —со), (44.6)

где явно отмечено, что t0 = — 00 и оператор 3 определен формулой

S=5(+co, — со)- lim S(t, t0). (44.7)

t-++ CO /0-* — 00

Этот оператор называют матрицей рассеяния. Его особое значение в теории рассеяния частиц (см. § 80) вытекает из того обстоятельства, что в теории рассеяния начальные состояния задаются обычно в виде волн, представляющих удаленные друг от друга частицы, которые потом встречаются (время от /0 = = — оо до / = 0), взаимодействуют около момента i = 0 и затем рассеиваются, уходя опять вдаль при t-*--\-oo. По определеУНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ

173

нию (44.7) матрица рассеяния как раз и преобразует состояние, заданное при t== — со, в состояние, возникающее при t~ + 00.

Заметим, что простота выражения (44.2) является в некоторой мере иллюзорной. Это выражение может быть просто применено к вычислениям только при условии знания собственных

А

значений Еп оператора Н и его собственных функций г|)п (х), т. е. в том случае, когда найдены решения стационарного уравнения Шредингера, что далеко не всегда просто сделать.

Чаще встречаются с такой ситуацией, когда оператор Н

можно разбить на две частицы: основную Но и малую, добавочA AAA

ную часть W, так что Н = H0-\-W. Предполагается, что собственные значения Еп и собственные функции г|?„ (х) «невозмущенного» гамильтониана Н0 известны. Тогда (44.2) можно разложить

?V А

в ряд по степеням малого «возмущения» W и получить приближенное выражение для оператора S. Такой путь применения .S-матрицы широко используется в современной теории рассеяния частиц.

А

Матричные элементы оператора S (t, /0) определяют вероятности переходов из одного квантового состояния в другое. Допустим, что в начальный момент времени t = t0 некоторая динамическая величина L имела определенное значение L = Ln. Это означает, что при t = t0 оИх, У = Фя W. где срл (х) есть собственЛ. Л

ная функция оператора L, так что Lyn = L,lq)n. В соответствии с (44.1) в этом случае волновая функция к моменту времени / будет равна

t) = S (/, /0)фя(*). (44.8)

С другой стороны, согласно общей теории (§ 22), вероятность найти L — Lm в момент времени t

страница 44
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
композитная черепица цена за м2
техническое обслуживание чиллеров uniflair
новогодние наклейки на окна из полерезина купить
сетка рабица мелкая ячейка

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(25.06.2017)