химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

нгера (28.3) может быть переписано в матричной форме, если разложить ty(x, t) в ряд по собственным функциям а|зя (х) какого-либо оператора. Подставляя в (28.3) (лг, /) в виде ряда

ч>(*. о=2>»(Офл*).

1Н^=Унтаса, m=l, 2, 3, (42.1)

умножая слева на ft (х) и интегрируя по х, находим

dt L

где

Hmn = ^tn(x)H\pn(x)dx (42.2)

есть матричный элемент гамильтониана Н. Это уравнение по заданным в начальный момент сп (0) (т. е. по ф (х, б)) определяет cn(t) (т. е.Ц(х, t)).

Пусть Н есть оператор полной энергии. Возьмем в качестве

функций урп (х) собственные функции оператора Н. Тогда сп (t) суть амплитуды стационарных состояний, а матрица Нтп будет диагональной:

Нтп = S $тЩп dx == ?«бтя. (42.3)

dt

Отсюда

Подставляя эти значения Нтп в (42.1), находим уравнения Шредингера для этого случая:

ih^ = Emcm. (42.4)

c.m(t) = cm(0)e * , (42.5)

т. е. амплитуды стационарных состояний гармонически зависят от времени. Это совпадает с выводами § 30.

Применим теперь уравнение Шредингера в матричной форме к вычислению производной оператора по времени. Дифференцируя по времени среднее значение (41.2), находим

~1Г ~ЧГ ~ ZdZd т~дГ LLk dt ьгппСп-[- ^1лт тл dt '

т и т п т п

из (42.1) имеем

- ih ^=У Hfnkct ih %} = 2 Hnkck.

k k

D(L)

Подставляя эти производные в выражение для получаем

т п так ^

Ш 2 2 CkLmnCn.

т п k

Учитывая, что в силу самосопряженности оператора

а также то, что индексы m, п и k пробегают одни и те же значения, мы можем (переменив во втором члене обозначение к на п, а в третьем k на т)' переписать предыдущее уравнение в форме

D-Ґ=2 2 Л DJW с-+К 22 * (2 - 2 Н»*Ц *•

т п т п \ k k j

Учитывая, что по правилу умножения матриц

mm

получаем

d(L) dL

У] HmkLkn — (HL)mn,

dt

m n

где

jR-(LFF — HLJMN^jf^iLmkHftn — HmkLk„) = [H, L]MN (42.7)

к

есть матричный элемент скобки Пуассона. Из сравнения с формулой для среднего (41.2) следует, что матричный элемент опе-dl

ратора -ц есть

(SL + (42.8)

Формулы (42.6) и (42.8) представляют собой формулы (31.4) и (31.7), соответственно, в матричном представлении.

Рассмотрим важный частный случай. Пусть гамильтониан Н

А

не зависит от времени, так что И есть оператор полной энергии. Возьмем специально энергетическое представление («?»-представЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ

167

ление). Тогда матрица Н будет диагональной:

Н ы — Ефьп> Hmk — Em&mk.

Предполагая еще, что оператор L не зависит явно от времени, мы получим из (42.7) и (42.8)

Tt)mn =Th(En~'Ещ}lLmn'

или

(Jf^ тп = iamnLmn, (42.9)

где

CD™ = ^=^ (42.10)

есть боровская частота. В частности, матрица оператора скорости будет иметь элементы

{^)тп==ШтпХтп> (42.11)

где хтп — элементы матрицы координаты х. Соотношение между скоростью и координатой получается совершенно таким же, как для осциллятора, колеблющегося с частотой сотя.

Формула (42.9) становится совершенно очевидной, если применить так называемый гайзенберговский способ представления операторов. Этот способ заключается в том,

А

что матрица какого-нибудь оператора L строится с помощью волновых функций стационарных состояний, взятых для времени t:

-i ^JIL

%i (x, t) = % (x) e n .

Ясно, что это можно сделать, так как г|),2 (х, t) так же, как и 1 (4 образуют полную ортогональную систему функций. Стало быть, в гайзенберговском представлении матричный элеА

мент оператора L определится по формуле

Lmn (t) = J ft (x, t)L^n (x, t) dx = ?тяЛ™'. (42.12) Отсюда для оператора, не зависящего явно от времени,

№1л = %* = ^-«. (42.9')

Эта формула отличается от (42.9) только тем, что зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторы.

Согласно (42.12) матричные элементы операторов, явно не зависящих от времени, в гайзенберговском представлении гармонически зависят от времени, с частотами Бора сотл.

В случае непрерывных матриц вместо (42.1) будем иметь

= |j Hp.pc(p)dp> (42. Г)

дс(р')

DT

или, в координатном представлении:

а вместо (42.8)

DLP'P

, DT /Р'Р ~~ DT

DLX'X

T DIJX'X DT

1НЩР-= $ Hx.xq(x)dx, (42.1")

+ LU, (42.8')

+ L\,x. (42.8")

Что же касается остальных формул этого параграфа, то они связаны специально с энергетическим представлением.

Введение в рассмотрение непрерывных матриц, как видно из изложенного в §§ 39—42, позволяет сделать матричный способ записи операторов совершенно единообразным, так что все возможные представления операторов и волновых функций становятся совершенно равноправными. Поэтому матричный способ записи операторов особенно удобен при рассмотрении общих вопросов теории.

При решении же конкретных задач особенно употребительно координатное представление. Объясняется это тем, что энергия взаимодействия в нерелятивистской теории зависит только от координат, кинетическая же энергия есть простая функция

импульса (J^J- В силу этого в координатном представлении мы

получаем уравнение Шредингера в форме сравнительно простого дифференциального уравнения второго порядка. Однако при приближенном решении задач другие представления могут иметь преимущества перед координатным.

§ 43. Унитарные преобразования

л.

Рассмотрим преобразование какого-нибудь оператора G от одного произвольного представления к другому. Пусть в первом

А

представлении оператор G изображается матрицей С, элементы которой нумеруются собственными значениями L = Lb L2, ...

А

..., Ln, ..., Lmi ...оператора L («^-представление). Во втором предА

ставлении пусть тот же оператор G изображается матрицей G", элементы которой нумеруются собственными значениями М —А

— Mi, М2, МА, MR, ... оператора Миропредставление).

А А

Для определенности мы предполагаем, что L и М имеют дискрет§ 431 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 169

Л

лении

G = G[ — ifi дх, х

ный спектр. Если оператор G дан первоначально в «*»-представд 1 и собственные функции операторов L

И М СУТЬ ^! (X), ^2 (X), • • • . tyn (Х), . . . , ft (*), . . . И фх (*), ф2 (*), . . .

ц>а(х), ФрМ, соответственно, то матричные элементы оператора G в «/^-представлении определяются формулой

Gmn § ? * (х) G (— ih ~, *) фл (х) dx, (43.1)

а в «Л4»-представлении

Gap = Фа М Й (— ih ~ Xj фр (х) dx. (43.2)

Спрашивается, какова связь между матрицей G' с элементами Gmn и матрицей G" с элементами Gap? Разложим собственные функции

л л.

оператора 714 по собственным функциям оператора L:

Фр (х) = 2 ?„ « S„Pl Ф5 (*) = 2 « 5* a, (43.3)

причем

S„p = J ^* (x) фР (*) dx, 5*a = J ft (*) ф* (x) dx. (43.4)

Подстановка (43.3) в (43.2) с учетом (43.1) дает

Cap = 2 2 SmaPmnSnfb' (43.5)

/71 rt

Совокупность величин Sn$ можно рассматривать как матрицу S, строки которой нумеруются собственными значениями величины L, а столбцы — собственными значениями величины М. Наряду с матрицей S рассмотрим сопряженную матрицу S+, элементами которой являются

(S%m = $*m«, (43.6)

так что S+ = S* и, следовательно, строки матрицы нумеруются со

страница 43
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
контейнер для длительного хранения вещей
скидки на подарки
курс дизайн интерьера москва
Болтовые полочные стеллажи, архивные стеллажи

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(05.12.2016)