химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

отрим сначала

оператор координаты х в «р»-представлении. Согласно определению матричного элемента имеем

Хр>р= ^ Tui'Xtypdx = у п хе п dx =

Далее, по формуле (39.5'), определяющей действие оператора L, данного в матричной форме, на волновую функцию имеем

Ь ip') = \ Хр'Рс (р) dp = — ih \ ~Ь (р' -р)с (р) dp.

§ 40] МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 161

Производя здесь интегрирование по частям, находим

ъ (р') = [- т (р'-Р)с +т J 8 (// - р) ^ dP,

или

b(p) = ih^, (40.17)

т. е. оператор х в «р»-представлении может быть дан либо в виде матрицы (40.16), либо в виде дифференциального оператора ih^ (40.17). Последний результат нам уже знаком (ср. § 13).

л.

Оператор х в своем собственном представлении может быть изображен диагональной матрицей

хх>х = х'Ь(х-х')1 (40.18)

а оператор любой функции V (х) — матрицей

Vx>x = V (*') б (*-*'). (40.18')

В самом деле, по формуле (39.5'), заменяя там обозначения Ь на ф, с на р на х, получаем

Ф (х') = \ Vx^ (х) dx = \V (*') б (х - х') * (х) dx,

или

<р(х) = V (х)$(х), (40.19)

т. е. действие функции V (х) в «^-представлении сводится к умножению г|) (х) на V (*). Результат опять-таки известный.

Подобным же образом оператор Р может быть дан в матричной форме

Px>x = + ihfrb(x-x'). (40.20)

Имеем

Ф (*') = Рх>х^ (х) dx = ih jj ~ б (x — x') ij) (x) dx. Интегрируя здесь по частям, получаем

Ф(дс) = -/Й^ф(х), (40.21)

т. е. матричное представление (40.20) оператора Р эквивалентно Дифференциальному Р = —

На основании формул (40.18) и (40.20) любой оператор, Данный в виде L (— '*^» *) = M^t * )> можно написать в

ft тт т г г- _ _

матричной форме таким образом, что

Ф (*') = jj Lx.x$ (х) dx = L{- ih ™, *') ф (х'). (40.22)

Для определения матричных элементов Lx>x достаточно рассматривать операторы Р и х в L(P, х) как матрицы (40.18) и (40.20) и выполнить умножение и сложение этих операторов согласно правилам (40.9') и (40.1 Г) для непрерывных матриц. Нетрудно, например, убедиться, что в матричном координатном представлении гамильтониан

Я = | + У У (,) (40.23)

будет иметь матричные элементы

Я'-* = -ф*"+ V W6 (*-*'>• (40-24)

§ 41. Определение среднего значения и спектра величины, представляемой оператором в матричной форме

Формула (19.1) для среднего значения величины, изображаемой оператором —^<^» *) в состоянии яр(х, /), может быть

легко переписана в матричной форме. Пусть 1|>л (х) — собственная функция, принадлежащая я-му собственному значению величины, взятой за независимую переменную (например, энергии). Представим яр (х, t) и яр* (х, f) в виде ряда

яр(х, *) = !>**(*, 0. (41.1)

п

о = 2с«*«(^ о. (41.г)

Подставив их в формулу

1^<ф* (jcf /)?яр(х, /)d*,

получим

н т

т. е.

Z = 2 2 UZw*. (41.2)

/г т

Это и есть выражение для среднего значения Ъ величины L,

если представляющий ее оператор L дан в матричной форме. Рассматривая совокупность сп как матрицу яр с одним столбцом

§ 41] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И СПЕКТРА ВЕЛИЧИНЫ 163

(40.12), а совокупность с% — как сопряженную матрицу я|)+ с одной строкой (40.12'), мы можем по правилу матричного умножения записать (41.2) в виде

Z = ^+Li|). (41.3)

Спектр величины (совокупность ее возможных значений) и собА

ственные функции представляющего ее оператора L определяются

л

согласно (20.2) из уравнения L^L — L^L- Подставляя в это уравнение ij) из (41.1), умножая слева на ft и интегрируя по ху получим

2 сп J ft/лК dx = L 2 Сп \ Фтф« dx или 2 Lmnca = Lcm. (41.4)

п

п

Это —бесконечная система линейных однородных алгебраических уравнений для определения амплитуд собственной функции са и собственных значений оператора Ln.

Как известно из алгебры, система однородных линейных уравнений только в том случае имеет решение, отличное от нуля, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль. В нашем случае этот определитель имеет бесконечное число строк и столбцов1)

^11

^21

L Ln

^22"

^13

= 0.

(41.5)

-п\

L

лз

L

пп

Это уравнение накладывает ограничения на возможные значения L. Оно является уравнением бесконечно высокой степени L (трансцендентным) и будет иметь бесконечно большое число корней: L = Lb L2, La, ... В алгебре доказывается, что корни такого уравнения обязательно действительны. Совокупность значений La, при которых разрешима система уравнений (41.4), и будет совокупностыо собственных значений оператора L. Подставляя в (41.4) один из корней уравнения (41.5), например, La, мы найдем соответствующее этому корню решение

L = La, Ci — Ci (La), с-> = Со (Lrj), .. •, сп = сп (La), .... (41.6) Совокупность найденных таким образом значений си с2, ...

'/71

*) Такой определитель следует рассматривать как предел определителя, образованного для системы конечного числа N неизвестных сп, при Л/-> со. Уравнение (41.5) имеет смысл, если такой предел существует. Пример такого уравнения читатель найдет в книге: Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, т. 1, Физматгиз, 1963, гл. 11.

и будет собственной функцией оператора L, принадлежащей

а-му собственному значению L = La. Эта же волновая функция в <ш>-представлен и и запишется в следующем виде:г)

Ы*) = 2>я (?«)*,(*). (41.6')

п

В своем собственном представлении всякая величина изображается диагональной матрицей. В самом деле, если г|),г (х) есть

собственная функция оператора L, то его матрица имеет элементы

Lmn = \ УтЦ>п dx = 5 фЫ,,*,, dx = Ln6mn, (41.7)

A

где Ln есть я-е собственное значение оператора L. Поэтому

задачу о нахождении собственных значений оператора L можно

рассматривать как задачу о приведении матрицы оператора L, данного в произвольном представлении, к диагональному виду (41.7).

Так как коммутирующие операторы имеют общую систему собственных функций, то их матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному виду.

Соответствующие формулы для случая непрерывных матриц получаются из рассмотренных выше заменой сумм на интегралы. Вывод их настолько прост, что мы ограничимся приведением результатов. Среднее значение величины L будет равно

L = \\c*(p') Lp>pc(p)dp'dp (41.2')

(импульсное представление) и

1 = ^ <ф (*') Lx'xty (х) dx' dx (41.2")

(координатное представление). Вместо уравнения (41.4) будем иметь соответственно

\Lp.pc(p)dp = Lc(p\ (41.4')

\Lx^{x)dx = L^{x') (41.4")

и, наконец, вместо (41.7)

Рр.р = р'6(р'-р), (41.7')

хх,х = х'Ь(х'-х). (41.7")

1) Функция \ра (л) может быть непосредственно получена путем решения

дифференциального уравнения Li|) = LiJ). Решение уравнения (41.4) и (41.5) обычно не проще решения указанного дифференциального уравнения. Однако при приближенном решении уравнений (гл. XI) уравнения в матричной форме оказываются весьма полезными.

Уравнения (41.4') и (41.4") будут либо дифференциальными, либо интегральными уравнениями.

§ 421 ЗАВИСИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ОТ ВРЕМЕНИ 165

§ 42. Уравнение Шредингера и зависимость операторов от времени в матричной форме

п

Уравнение Шреди

страница 42
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курьерская доставка на авто
danfoss fs 51 входное напряжения
наклейки на компьютер
legea

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(11.12.2017)