химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ортогональности функций i|)p (х) найдем

J Ъ (р) б (р' -p)dp = \c (p}dp I TYP L % dx,

или

b(p') = \Lp,pc(p)dp, (39.5')

где

LP'P = L (p\ P) = \ # (x) 1% (x) dx. (39.6')

л

Величины LP'P характеризуют оператор L в «/^-представлении. Они зависят от двух переменных р' и р, пробегающих одни и те. же значения. Lp>p по-прежнему будем называть матричным

А

элементом оператора L в «р»-представлении, а всю совокупность значений LP'P — матрицей. Ясно, что в этом случае мы не можем изобразить LP>P в виде таблицы. Тем не менее и в этом случае р' будем называть номером строки, а р —номером столбца.

Мы видим, что в произвольном представлении операторы изображаются матрицами '). В «^-представлении мы имели операторы в виде дифференциальных операторов. Однако можно показать (см. § 40), что и в этом представлении операторы можно записать в матричной форме.

§ 40. Матрицы и действия над ними

]) В самом деле, под Е или р можно понимать любую величину L, имеющую дискретный или, соответственно, непрерывный спектр значений. В общем случае под Е или р можно понимать цел^ю совокупность независимых, одновременно измеримых величин L, М, Л/, ....

В матрицах мы отличаем среди всех элементов так называемые диагональные элементы. Диагональными элементами называются матричные элементы, номер строки которых

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

157

равен номеру столбца, т. е. элементы вида Lnn. В случае непрерывного спектра диагональными элементами называют элементы вида LpP. Если матрица имеет только диагональные элементы, то ее называют диагональной матрицей. В случае дискретного спектра такая матрица имеет вид

0 0 .. . 0

0 L<2,0 0 0 . Lnn

(40.1)

Важным случаем диагональной матрицы является единичная матрица б с элементами Ьтп, равными

6/ЯИ = J tym% dX

Эта матрица имеет вид

/ =

(40.2)

(40.2')

Из определения матричных элементов единичной матрицы (40.2) следует, что единичная матрица остается единичной в любом представлении, ибо равенство (40.2) имеет место для любой системы ортогональных ^функций *фл(*). Элементы диагональной матрицы L всегда могут быть записаны в виде

Lmn — Lnbinn. (40.3)

Часто наряду с какой-либо матрицей L с элементами Lmn приходится рассматривать производные от нее матрицы. Среди таких отметим сначала комплексно сопряженную матрицу L*. Элементы этой матрицы комплексно сопряжены соответствующим элементам исходной матрицы:

(L*)m„ ==/-*„„. (40.4)

Далее, из данной матрицы можно образовать т р а н с п о н и р ов а-н н у ю м а т р и ц у L. Эта матрица образуется из исходной путем взаимной замены строк и столбцов. Элементы этой матрицы- определяются формулой

\L)mn — Lnm. (40.5)

Если мы возьмем матрицу, комплексно сопряженную транспонированной, т. е. L*, то мы получим матрицу, которую называют сопряженной к исходной и обозначают через L+. Ее

элементы определяются формулой

(L+)mn = (L*)mn = L*m. (40.6)

В том случае, когда сопряженная матрица равна исходной:

L+ = L (т. е. = «,„), (40.7)

она называется эрмитовской или самосопряженной. Это определение вполне соответствует нашему прежнему определению эрмитовского или самосопряженного оператора (18.7).

л

В самом деле, если оператор L — эрмитовский, то мы имеем для его матричных элементов

Lmn = \ Ц?пЦ>п dx = J ф„ L*yp'fn dx = Ltm.

Рассмотрим теперь алгебраические операции над матрицами. Обратимся сначала к сложению матриц. Пусть дан некоторый

А л л

оператор С, являющийся суммой операторов А и В. Тогда под

А

суммой матриц А и В мы будем понимать- матрицу оператора С. Легко найти элементы этой матрицы. Имеем

Стп = \ ^%С% dx = J q?nAyn dx + $ qtnBtyn dx, (40.8) следовательно,

Стп ~ Атп~\~ Втп> (40.9)

т. е. матричный элемент суммы операторов равен сумме соответствующих элементов каждого из входящих в сумму операторов. Весьма важным в смысле приложений является правило умножения матриц. Для установления этого правила вычислим

матричный элемент оператора С, являющегося произведением

А Л

двух операторов А и В. Пользуясь определением матричного элемента, получаем

Стя ?-= J ytfnCtytdx = $ (Вурп) dx. (40.10)

А

Величина В\рп сама является некоторой функцией и может быть разложена в ряд по ортогональным функциям грл (л:):

k

где

bk = ^ptB\pn dx = Bkn. Подставляя это разложение в (40.10), получим

Стп = $ -фТпА 2 Bkr$k dx = y^ Bkn \ ^%Mk dx = 2 ВЛяЛm/fc.

/с к k

МАТРИЦЫ и ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

159

Следовательно,

С/пп — 2 A tnkВ

lin>

(40.11)

В (40.11) заключено правило умножения матриц: чтобы получить матричный элемент С,пп матрицы, представляющей произведение

Л А

операторов А и В, нужно элементы т-й строки матрицы А умножить на элементы п-го столбца матрицы В и сложить. Правило сложения матриц (40.9) и правило умножения матриц

(40.11) позволят по данным матрицам операторов А, В, ... находить матрицы, представляющие различные функции от А, В,...

Кроме того, правило умножения позволяет в несколько иной форме представить формулу (39.5), выражающую результат действия оператора L на волновую функцию. Именно, эту формулу можно рассматривать как матричное произведение. Для этого запишем волновую функцию в «^-представлении в виде матрицы с одним столбцом

ct 0 0 ... сг 0 0 ...

(40.12)

Таким же образом представим и функцию ср:

bi

ь2

о

о

о о

(40.13)

'гп

о

Теперь легко видеть, что (39.5) может быть написано в виде матричного произведения

Ф = 1ф, (40.14)

где ср есть матрица (40.13), гр —матрица (40.12), a L —матрица (39.7). В самом деле, например, bm есть элемент m-й строки и первого столбца матрицы (40.13). Он должен получиться, согласно (40.11), путем перемножения элементов ш-й строки матрицы (39.7) на элементы первого столбца матрицы а|; (40.12). Но это как раз и дает уравнения (39.5). Сопряженную волновую функцию с*, с%, ..., Сп, ... можно записать в виде матрицы, сопряженной к (40.12), именно, в виде матрицы с одной строкой:

"1 "-2

0 0

о

(40.12')

С записью волновых функций в виде матриц (40.12) мы встретимся в теории магнитного момента электрона.

Заметим еще следующий результат из правила умножения матриц. Матрица О, сопряженная к произведению С двух матриц А и В, должна писаться в виде

С+ = (АВ)+ = В+А+. (40.15)

В самом деле, элементы Стп по определению сопряженной матрицы равны С%т. Из (40.11) имеем

Сщп — С*т = 2 A'nkB'km ~ 2 В'ткА%п — 2 (B+)mk (A+)knк к к

Совершенно аналогичным путем (заменяя суммы на интегралы, символ бтп на 6 (р' — р)) получаем соответствующие формулы для непрерывных матриц.

Именно, вместо (40.2) имеем единичную матрицу

6 = 6(//-р). (40.2")

Элементы диагональной матрицы запишутся в виде

Lp,p = L(p')S(p'-p). (40.3')

Свойство самосопряженности выразится формулой

LP>P = L*PP>. (40.7')

Матричный элемент суммы двух матриц А и В будет равен

СР'р = Ар>р + ВР'Р9 (40.9')

а матричный элемент произведения двух матриц А и В будет равен

Cp>p = \Ap>p»Bp»pdp". (40.1 Г)

Приведем примеры непрерывных матриц. Рассм

страница 41
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курсы повышения квалификации холодильщиков
пластырь rocktape купить
полка для обуви в школе
теплообменник для горячей воды квд 80-502

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(23.04.2017)