химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

кциям Ф(рх, ру, рг) от них (например, по кинетической энергии Т (рх, ру, рг)). Возможны и другие группы приборов.

До сих пор мы изображали состояние частиц волновой функцией г|> (х), беря в качестве переменной координату частицы х (простоты ради, в дальнейшем мы употребляем лишь одну координату х).

Сортировка частиц по координатам х производится устройствами, исключающими сортировку по рх (далее будем писать просто р вместо рх). Представим себе, однако, что мы интересуемся сортировкой частиц не по их координатам х, а по их импульсам. Тогда нужно взять прибор, анализирующий ансамбль по р, а не по х. Между тем волновая функция описывающая ансамбль, взята как функция х. Нельзя ли описать состояние ансамбля так, чтобы волновая функция была функцией импульса р?

§ 381 РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 153

В первом случае мы будем говорить, что состояние отнесено к прибору, анализирующему ансамбль по координатам частиц х (первая «система отсчета»), во втором случае —к прибору, анализирующему ансамбль по импульсам р (вторая «система отсчета»). Коротко говорят: состояние дано в «лт»-представлении или состояние дано в «р»-представлении *).

Найти «р»-представление очень легко. Пусть нам дана волновая функция я); (х, t) («^-представление). Разложим эту функцию по собственным функциям оператора импульса ярр (х) (т. е. в интеграл Фурье), тогда

О = S с (р, t)%(x)dp, (38.1)

C(ptt) = ^ (х, t) if* (x) dx. (38.2)

Если мы знаем амплитуды с(р, t), то мы знаем и я|? (*, /), задание с(р, t) вполне определяет г|э (я, t). Поэтому с(р, t) можно рассматривать как волновую функцию, аргументом которой является импульс р. Эта функция изображает физически то же состояние частицы, что и функция г|э t). Формулу (38.1) следует рассматривать как преобразование волновой функции от «р»-представ-ления к «^-представлению, а (38.2) —как преобразование от «#»-представления к «р»-представлению.

Рассмотрим теперь представление состояния, когда за независимую переменную взята энергия частицы Е. Пусть, для определенности, Е имеет дискретный спектр значений: Еъ Е2,..., Еп,

Соответствующие собственные функции обозначим через ^ (х),

т|>2 (х), ..., tyn (х), Волновую функцию ij? (xt t) мы можем представить в виде ряда

У(х, 0 = 2М0Ф«М. (38.3)

п

сл(/) = $г|>(*. t)^(x)dx. (38.4)

Опять-таки задание всех амплитуд сп (t) вполне определяет 1|э(х, (). Обратно, задание -ф (*, t) определяет cn(t). Поэтому совокупность всех сп (t) можно рассматривать как волновую функцию, описывающую то же состояние, что и т|э (х, /), но в представлении, в котором за независимую переменную взята энергия2) Е.

*) Следует читать: «координатное представление», «импульсное представление».

2) В полной аналогии с с(р, t) вместо cn{t) (/2 = 1, 2, 3, ...) мы могли бы писать: с (Е, t) (? = ?",, Eit Еа, ...).

С этой точки зрения формула (38.3) есть преобразование волновой функции от «?»-представления к «^-представлению. Формула (38.4) есть формула обратного преобразования. Из формул (38.1), (38.2), (38.3) и (38.4) следует, что вероятность найти какое-либо значение независимой переменной равна квадрату модуля волновой функции в соответствующем представлении. В самом деле, пусть имеется некоторое состояние я|? (х, t), тогда вероятность w(x, t) найти значение координаты, лежащее между х и x-\-dxt будет

w {х, t) dx = I я|> (х, t) i2 dx. (38.5)

Вероятность до (p, /) dp найти импульс p между p и p-\-dp будет

до(р, t)dp = \c(p, t)fdp. (38.6)

Вероятность найти энергию до (?л, Q равной Еп будет

до(?„, 0 = |сл(012 = к(?я, О Г- (38.7)

§ 39. Различные представления операторов, изображающих механические величины. Матрицы

Для того чтобы изображение состояний ф в разных независимых переменных получило полную- законченность, нужно еще найти способ представления операторов в тех же переменных.

Между тем до сих пор мы рассматривали операторы L как

А А / ft \

«функции» х, считая, что L имеет вид Ll — in-^tx\. В этом

случае оператор L действует на функции вида "ф (х) и производит новую функцию ф (х) по формуле

Ф(*) = ?(-/Л-^-, (39.1)

Л.

Поэтому можно сказать, что мы брали оператор L в «х»-представ-лении.

А.

Найдем теперь оператор L в энергетическом представлении («?»-представление), считая, что энергия имеет дискретный спектр значений ?„. Соответствующие собственные функции пусть будут tyn(x). Тогда функции ф и ар можно представить в виде

=2 (39.2)

п

ФМ^2>АМ. (39.3)

п

Совокупность сл есть г|з в «?»-представлении, а совокупность &л

А.

есть ф также в «?»-представлении. Оператор L переводит ф в новую функцию ф, а вместе с тем и сп в новые амплитуды 6Я. Если мы найдем оператор, который бы непосредственно выражал Ьп

через сп> то тем самым мы найдем оператор L в «?»-представлении. Для этой цели подставим *ф и ф из (39.2) и (39.3) в (39.1). Тогда

РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ

155

мы получаем

(*)= ^СпЦп (X).

(39.4)

п

п

Умножая (39.4) на г|)*г (х) и интегрируя по всему пространству А*, мы получим в силу ортогональности функций г|)л(х)

(39.5)

п

где

(39.6)

Зная все величины Lmn, мы.можем по формуле (39.5) найти все амплитуды Ьп (функцию ср в «?»-представлении) по заданным сп (т. е. по функции я|э в «^-представлении). Поэтому совокупность

всех величин Lmn следует рассматривать как оператор L в «Е»-пред-ставлении.

Эту совокупность можно расположить в виде квадратной таблицы

L =

(39.7)

имеющей бесконечное число строк и столбцов. Такая таблица называется матрицей. Величины Lmn называются матричными элементами. Каждый матричный элемент имеет два индекса1). Первый есть номер строки, второй —номер столбца. Безразлично, как мы располагаем в такой матрице строки и столбцы. Но в каждом расчете необходимо, конечно, соблюдать одно определенное расположение. Мы условимся нумеровать строки и столбцы в порядке возрастания собственных значений:

Е± ?*2 ^* 3 • • • Еп • • •

л

Можно найти представление операторов L и в том случае, когда независимая переменная имеет непрерывный спектр значений.

:) Часто применяются другие обозначения матричных элементов, введенные Дираком, именно, пишут

(т \L\ti) вместо Lmn,

или еще подробнее:

(Ет | L | Еп) вместо

В этом последнем обозначении указывается не только оператор (?), которому принадлежит матричный элемент, но и представление, в котором он берется (Е), и, наконец, номера собственных значении т и п, которым принадлежит матричный элемент. Такое обозначение особенно удобно в случае вырождения (§ 21), когда волновые функции характеризуются несколькими индексами.

Обратимся в качестве примера к «/^-представлению. В полной параллели с (39.2) и (39.*3) имеем

yMx) = \c(p)%(x)dpt (39.2')

Ф (х) = J b (р) Цр (х) dp, (39.3')

с(р) и Ь(р) суть функции яр II ф в «/^-представлении. Найдем связь между с(р) и Ь(р). Подставляя (39.2') и (39.3') в (39.1), получаем

\ Ь (р) урр (х) dp = \c (p)L \рр (х) dp. (39.4')

Умножая это уравнение на TYP (х) и интегрируя по х, в силу

страница 40
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
ранункулюс купить в москве
замена гофры глушителя nissan
купить мельницу для соли
неголубой огонек 2016 организатор

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)