химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

еломления п, а вместе с ним и длина волны X = 2n/k заметно меняются лишь в той области пространства, где заметно меняется потенциальная энергия U, т. е. внутри сферы действия сил а. Если сфера действия сил а^>л., то на протяжении X как ?/, так и п будут меняться мало (кроме некоторых исключительных случаев крайне резких изменений потенциальной энергии).

Поэтому для ориентировочных расчетов условие (36.18) можно заменить более простым условием

Я<а. (36.19)

Это условие не следует понимать так, что для любых микрочастиц, имеющих достаточно большую энергию и, следовательно, обладающих малой длиной волны Я, всегда будет применима классическая механика.

При возрастании энергии частицы возникают явления неупругих ударов (ионизация и возбуждение атомов, тормозное излучение, возбуждение и расщепление атомного ядра и т. п.),

148

связь с КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И оптикой

[ГЛ. VI

которые не могут быть рассчитаны без применения квантовой механики.

В заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда ?>|(/|. Из (36.16) имеем

л=1 —+ (36.20)

В этом случае лучи преломляются слабо и их можно считать прямыми линиями. Если при этом потенциал настолько гладкий, что соблюдено условие (36.19), то рассматриваемое приближение называется эйкональным. Вычислим в этом приближении изменение фазы волны rj вдоль луча, который для определенности будем считать направленным вдоль оси ОХ. Из (36.10) и (36.20) следует

так что

ц = к0 ^(n-\)dx = — k0^ -^-dx. (36.22)

Этот результат будет использован в теории дифракционного рассеяния частиц.

§ 37. Квазиклассическое приближение (метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна)

Изложенная в §§ 35, 36 связь между квантовой механикой и классической механикой и оптикой позволяет развить приближенный метод решения уравнения Шредингера, пригодный в тех случаях, когда соблюдено условие (36.19), т. е. при слабом изменении длины волны. Говоря на оптическом языке, в тех случаях, когда показатель преломления среды п (х) медленно меняется в пространстве.

Тогда, полагая в соответствии с (35.10) и (35.12)

у = е-11{Е-'-*\ (37.1)

где s = s0 -j- ihs1 -j- ..., получим

y = e-sie-k(Et-s»\ (37 Рассмотрим в дальнейшем тот случай, когда потенциал U зависит лишь от одной координаты U = U (х), тогда s0 и sL также будут функциями только х.

I ds

Теперь Vso=^-^r, 0, 0J и из (36.12) следует, что

s0(x) = ]p(x)dx, (37.2)

§ 37] МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ-КРЛМЕРСА-БРИЛЛЮЭНА 149

где р (х) есть импульс частицы

р (х) = ± у 2р [Е - U (х)] = ± | р (*) |. (37.2')

Пользуясь (35.13'), вычислим Si, причем там следует положить

-~L = 0. Получим

откуда sx = + \ In р (л) — In с, так что

^--^-И*. (37.4)

V Р {х)

В этом приближении вероятность найти частицу в области х, x-\-dx есть

w(x)dx=W(x)?dx=l-j^-, (37.5)

т. е. она обратно пропорциональна скорости v (х) = р (х)/\х, стало быть прямо пропорциональна времени прохождения отрезка dx, как это и должно быть по классической теории. Учитывая два возможных знака р (х) в (37.2'), полное решение следует написать в виде суперпозиции двух решений

X X

"И1 Р {Х) LDX ~I~V:P {Х) 1 DX

X Р (х) X Р (х)

Константы clt с2 и а должны быть выбраны из граничных чсловий для волновой функции 'ф(х)1). Ясно, что из трех констант независимы только две.

Особого рассмотрения требует случай точек поворота, т.е. таких точек, где полная энергия Е равна потенциальной U (х). В такой точке кинетическая энергия и импульс частицы становятся равными нулю: Т = 0, р = 0.

Согласно классической механике частица в такой точке меняет '•пак скорости и начинает двигаться в обратном направлении. Отсюда и название —точка поворота.

С волновой точки зрения допустимо движение и в области, где E150

связь с КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И оптикой

[ГЛ. VI

уже не имеет смысла импульса:

р (х) - it i У 2\i[U (A')-ZF] = dni\p(x)\. (37.2")

При этом одно из решений в (37.6) будет неограниченно нарастать с ростом х. Физически имеют смысл только ограниченные волновые функции, поэтому в области, где Eх

- I \ I Р (V) I dx

ф (*) =-г=§== е « . (37.6')

Для дальнейшего рассмотрения точек поворота удобно выбрать константу а равной значению х в точке поворота E = U (а), р(а) = 0.

Как видно из (37.6), (37.6'), найденные приближенные решения обращаются в бесконечность как раз в точках поворота. Поэтому сшивание решений по обе стороны от точки поворота требует рассмотрения более точного решения уравнения Шредингера в окрестности этой точки.

Это достигается тем, что в окрестности х = а потенциал U (х)

представляют в виде U (х) = U (а) + [~^- j (х —а)и решают

для этого линейного потенциала уравнения Шредингера. Мы приведем только результаты такого расчета.

Будем считать, что для х>а ЕU(х), тогда оказывается, что правильный выбор констант таков, что

а

®{x)=7msm[iSp(x)dx+i]'х<а' <37-7)

dx

ф (х) = —= е а , х>а. (37.7')

И для случая, когда E>U (х) в области х>а:

а

Предположим теперь, что область движения частицы ограничена и оно происходит между двумя точками поворота 6<л'<а.

Тогда в (37.7") следует вместо предела а подставить Ь. Очевидно, что оба решения (37.7) и

X

. / ч с . I \ I* . ... .тт. 'I. .

МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ—КРЛМЕРСА—БРИЛЛГОЭНА

151

в области bа

\ ^p(x)dx + -* = (/г+1)л, (37.9)

6

где п — целое число.

Распространяя интеграл по всему пути частицы от а до Ь и обратно, получим

р (х) dx = U+ ljj 2лН. (37.10)

Это есть условие квантования по старой, полуклассической теории Бора. Появление 1/2 в этой формуле несущественно, так как, строго говоря, классическое приближение справедливо лишь тогда, когда /г^> 1 (условие малости длины волны).

Глава VII

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

§ 38. Различные представления состояния квантовых систем

Как мы видели, для квантовой механики характерно, что одновременное употребление ряда классических корпускулярных величин (рх и х, Т и U, Мх и М„ и т. п.) теряет всякий смысл, так как в природе не реализуются такие ансамбли, в которых приведенные пары величин существовали бы одновременно.

Поэтому в отношении каждой квантовой системы все измерительные приборы могут быть разбиты на группы. Приборы одной из таких групп сортируют частицы (или системы) ансамбля по признакам, исключающим сортировку по признакам, характерным для какой-либо другой группы измерительных устройств. Так, например, если мы имеем дело с частицами, координаты центра тяжести которых суть х, у, г, то мы легко можем выделить две группы приборов; к первой группе можно отнести приборы, анализирующие ансамбль таких частиц по координатам х, у, z и по любым функциям от них F (х, у, z) (например, по потенциальной энергии U (х, у, z)), а к второй группе — устройства, анализирующие ансамбль по импульсам рх, ру, pz или по любым фун

страница 39
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
лазерный принтер hp
cisco роутер
Купить коттедж на Новорижском шоссе в поселке Новоархангельское
http://taxiru.ru/catalog/

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(18.11.2017)