химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

Шредингера

ih = /Н, А = - V2 + U (х, у, z, t) (35.9)

ведет приближенно к тем же результатам, что и рассмотренное уравнение Гамильтона — Якоби. Для этого предстазим волновую функцию i|) в виде

где S —некоторая искомая функция. Замечая, что

~дх ~ П дх т' дх2 № \ дх j т 'ft djc2 т'

мы получим, подставляя (35.10) в (35.9), уравнение для функции S:

(35.11)

Разложим теперь S по степеням /й:

5 = S0 + О'Й) Si + (*й)2 52 +... (35.12)

Подставляя (35.12) в (35.11) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Й, мы получаем уравнения

0St 1 Г0 dS0 OSj . 9 dS0 dSj . 9 dS0 dS, г72о "1 _

дГ " 2fA L дх дх ду ду z дг дг °°J ~~

= ^PVSoVSi + V'So] (35.13')

и т. д.

Первое из этих уравнений совпадает с уравнением Гамильтона—Якоби (35.2), а второе, как легко видеть, совпадает с уравнением непрерывности (35.8). В самом деле, вероятность найти частицу в окрестности точки х, у, z есть

р==|гь|2==^251 + ...в (35.14)

Отсюда

VP=s2vS1^ + -f -^ = 2^25l + -.

Поэтому, умножая уравнение (35.13') на 2e2Sit мы получаем уравнение непрерывности (35.8).

Остается выяснить вопрос об области применимости полученного приближенного решения уравнения Шредингера. При переходе от (35.11) к уравнению (35.13) мы отбросили член 2]Г^25;

это возможно сделать, если

1

V2S,

(35.15)

Пользуясь (35.1), это неравенство можно записать в виде

i->2jr!d,vPl(35.16)

P2>h

(35.16')

Это неравенство означает, что кинетическая энергия должна быть велика, а изменения импульса |divpj малы. Для одного измерения получим

dp dx

2лй

Вводя длину волны де Бройля Х = , находим

Р

dl

dx

2л,

(35.17)

т. е. длина волны должна медленно меняться в функции координаты.

§ 36. Квантовая механика и оптика

Исторически одним из истоков квантовой механики послужили параллели, установленные Гамильтоном между геометрической оптикой и механикой. Эти забытые аналогии были привлечены де Бройлем в современную физику, и с их помощью были сделаны первые шаги квантовой (волновой) механики. Часто говорилось, что Шредингер построил механику, аналогичную волновой оптике.

Аналогии часто помогают решению той или иной физической проблемы, по все же остаются только аналогиями. Окончательно написанное Шредингером уравнение не совпадает ни с одним из ранее известных уравнений для распространения волн. Эти последние — всегда уравнения второго порядка по времени, в то время как уравнение Шредингера — первого порядка по времени; имеются и другие отличия.

Тем не менее все же представляет интерес сравнить уравнение Шредингера с уравнениями волновой оптики. Допустим, что мы имеем некоторую однородную среду, в которой распространяются волны со скоростью v. Тогда уравнение для смещения /

§ 361 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ОПТИКА 145

при распространении таких волн будет

v*f—жж=0- <36Л)

Для волны, имеющей частоту колебаний со, можно положить

f==ue-t^9 (36.2)

тогда из (36.1) получаем

\2и + k2u = О, k2 ~ (36.3)

(к — 2лД — волновое число, Я —длина волны). Уравнение (36.3) строго применимо для однородной среды1). Однако оно описывает явления дифракции и интерференции и в том случае, если считать скорость v функцией координат. Поэтому его можно рассматривать как волновое уравнение и для неоднородной среды. В этом случае k2 будет функцией координат. Условно будем и в этом случае называть k волновым числом, а К = 2л/& — длиной волны.

Введем показатель преломления п(х, у, г):

п(х% у, = А =*<>-, (36.4)

где л0 —длина волны в пустоте. Тогда уравнение (36.3) можно написать в виде

\2u + kyi2u = 0. (36.5)

Пели неоднородности среды таковы, что показатель преломления п мало меняется на протяжении длины волны, то из волнового уравнения (36.5) можно получить основное уравнение геометрической оптики (в противном случае мы будем иметь дело с дифракцией волн на этих неоднородностях). Положим

u = aeik°Q, (36.6)

где а —амплитуда, k0S — фаза волны. Если длина волны мала, то ku велико. Разложим а и в по обратным степеням k0\

а = а0 + ах + -;V а, +..., (36.7)

e = 0o+^Gi+-*Ve3+... (36.8)

') Уравнение для распространения волн в неоднородной среде (например, '- 'ск фомагнитных волн в среде с переменной диэлектрической постоянной) выглядит на самом деле сложнее, чем (36.3).

Подставляя (36.7) и (36.8) в (36.6), а (36.6) в (36.5) и собирая одинаковые степени k0, получим уравнение (36.5) в виде

-/coflo (Ve0)2 + ^;/i2a0 + O (*0) = 0, (36.9)

где О (k0) означает члены порядка k0 и ниже. Пренебрегая низшими степенями k0, находим отсюда

(V60)2-/i2. (36.10)

Это н есть основное уравнение геометрической оптики, определяющее поверхности постоянной фазы

0О (л1, У, г) = const (36.11)

через показатель преломления п(х, у, z). Лучи будут линиями, ортогональными к этим поверхностям. Функцию 0О (л*, у, z) называют эйконалом.

Сопоставим с уравнением (36.9) уравнение Гамильтона —Якоби (35.2) для функции действия S0. Производя там подстановку S0 = Et — s0t мы можем написать (35.2) в виде

(Vs0)2 = 2|A [?-(/(*, у, г)]. (36.12)

Сравнение этого уравнения с (36.10) показывает, что задаче о распространении лучей малой длины волны (большое kQ) в неоднородной среде с показателем преломления п (х, у, г) может быть сопоставлена задача о движении материальной точки в поле сил с потенциальной энергией U (х, у, г), причем роль

показателя преломления играет величина У 2|ы (Е — U), а фазы — величина s0. Траектории частиц суть линии, ортогональные к поверхностям s0(x, у, z) = const. Поэтому траектории совпадают с лучами света в среде, показатель преломления которой п

пропорционален ]/2р, (? — ?/). Таким образом, классическая механика материальной точки аналогична геометрической оптике.

Если уравнение (36.3) рассматривать как уравнение волновой оптики, то можно сказать, что волновая (квантовая) механика аналогична волновой оптике. В самом деле,' уравнение Шредингера

подстановкой

Е_

(36.13)

сводится к уравнению

V2«-f- |l (E-U)u = 0. (36.14)

Пусть теперь в некоторой области частица движется свободно, вне силового поля, так что вся ее энергия сводится к кинетической. В этом случае следует положить U — 0. Волновое число в этой области обозначим через к():

k0 = l%E. (36.15)

Вводя теперь показатель преломления волн по отношению к этой области пространства

«=i = /IiE' <36-16)

мы можем переписать уравнение (36.14) в виде, полностью совпадающем с (36.5). Простейшие задачи по расчету преломления и отражения волн приведены в § 96.

При выводе (36.10) из (36.9) мы пренебрегли членами О(к0). Вычислив их, нетрудно убедиться, что мы пренебрегли членами о в сравнении с kl (ув0)2. Взяв (для простоты) одно измерение, мы можем написать условие справедливости нашего приближения в виде

«(-^?>*.-^- (36-17)

дх*

п 1. 2л , dQQ

Замечая, что k = -^- = k0 получаем

дХ дх

<2л, (36.18)

что совпадает с ранее полученным условием (35.17) для перехода от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби.

Из (36.16) следует, что показатель пр

страница 38
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
пироженное и цветы купить
Рекомендуем фирму Ренесанс - металлические лестницы наружные - качественно, оперативно, надежно!
кресло руководителя t 9950
домашняя кладовка склад аренда

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)