химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ни вычисляются по общей формуле (31.7). Полагая там L —(Да-)2, находим

А 1 Л

и так как для свободного движения оператор Н — -г— Р2, то1)

2,ii L ' J 2\iih ' [i

[Я, х^^Р2, Г-] -^(х2Р2-Р2х2) =

Такнм образом, оператор х равен

dW_xP + Px d* _хР + Рх__^ (34ЛЗ)

dt \i dt \i

Вычислим теперь вторую производную

д (d(Axy-\ Г л d (Ах)2] \ь хР + Рх]

^_(Дл-)2 df

2р2_

2~~ »

т. е.

2Pi_d!Ј2 ==2Pi_

d^2 Ц2 d*2 Ц2 " {<*'lV

Ввиду того, что Р2 коммутируете Н, все высшие производные от (Ад:)2 равны нулю. Таким образом, разложение (Дх)2 в ряд Тейлора по степеням t имеет вид

(a*)J = + (ХР + РХ -а«)< + -1.^-25«)<«. (34.15)

Переходя от операторов к средним значениям, получим

(Axyj = (Ax)l + (*P*P*-2g*) , + ^_^,2> (34Л6)

(Да)* — величина, обязательно положительная, поэтому из (34.16) следует, что

1) Во всех дальнейших расчетах пользуемся формулой Рх**хР — Ш.

(Дх),2 с ростом t неограниченно растет (может быть, переходя через минимум), т. е. пакет расплывается. Во многих случаях (в зависимости от вида ty(x, 0)j

140

связь с КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ и оптикой

[ГЛ. VI

член с t исчезает. Тогда (34.16) получает особенно простой вид:

(Ax)* = (Ax)l + (Av)2t2,

(34.17)

где (Да)2 — среднее квадратичное отклонение скорости:

(Ди)2 = -Чг — v2 = v2 - v2. \х2

Расплывание такого пакета совпадает с растеканием роя частиц в классической механике, если их начальные положения и скорости распределены около средХп

xt=xQ+vt

Рис. 20. Движение и расплывание волнового пакета в отсутствие внешних сил.

них значений с квадратичными отклонениями (Ах),-; и [Ао)2. Однако в классической механике можно взять рой, в котором {Ах)'^ и (Ди)2 равны нулю. В квантовой механике этого сделать нельзя в силу соотношения неопределенностей. Рис. 20 иллюстрирует сказанное выше о движении и расплывании волнового пакета.

В качестве приложения теории движения пакета, изложенной в этом параграфе, найдем условия, при выполнении которых рассеяние частицы в поле атома можно рассматривать методами классической механики. Пусть радиус сил взаимодействия между атомом и проходящей около него частицей будет а. Ясно, что для того, чтобы можно было говорить о траектории частицы внутри атома, необходимо, чтобы размеры волнового пакета Дл; были много меньше а (рис. 21).

П2

h2

Т =

На основании (34.Ю) и (34.11) можно сделать вывод, что кинетическая энергия частицы

(так как Ах < а). При

2u, ^ 8ц., Длл2 ^ 8ца2 этом же условии пакет не успевает заметно расплыться за время прохождения частицы через атом,

а а ? ii

следует

АХ'^:

пакета составляет

О — центр атома, а — радиус действия сил, АА' — траектория пакета, расплывающегося от ширины Дл: до ширины Дл;'.

, что расЦ.

а; так как при выполнении (34.11)

ширение

а • |Л

X Ар

которое по порядку величины равно t — -_r = ——. Действительно, из (34.17)

Р Р Ар <р, то Ах' <а.

Радиус действия сил по порядку величины равен радиусу атома а ^

r=: Ю-8 см. Для а-частицы, с типичной энергией 7 = 1 Мэв — 1,6 • 10~6 эрг,

pfx — V2uu71 = 4,6 • 10-1§ (масса а-частицы |ла —6,7- 10~24 г). С другой стороны,

§ 35] УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА II УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ 141

Л/а = 1 - Ю-19. Таким образом, для а-частицы уравнение (34.11) выполнено. Следовательно, рассеяние а-частицы можно рассматривать метбдами классической механики (что и было впервые сделано Резерфордом в его знаменитой теории рассеяния а-частиц). Однако, если а-частнца проходит вблизи ядра, то необходимо учесть действие ядерных сил, для которых сфера действия а ^= Ю-13 см, ti/a = 1 • 10~14 и уравнение (34.11) не будет выполнено. Поэтому рассеяние а-частиц ядерными силами нельзя изучать средствами классической механики.

Для электронов (це = 9-10_28 г), например, при Т — ЮО эв имеем ре = 5,4 • 10 19, так что ре сравнимо с к/а, и применять классическую механику к этому случаю невозможно.

§ 35. Переход от временного уравнения Шредингера к классическому уравнению Гамильтона —Якоби

В предыдущем параграфе мы установили связь квантовых уравнений движения с уравнениями Ньютона и тем самым — связь квантовой механики с классической. Эта связь может быть обнаружена еще другим способом: можно показать, что классическое уравнение Гамильтона — Якоби является предельным случаем временного уравнения Шредингера. Чтобы доказать это, напомним сначала уравнения Гамильтона — Якоби. Для простоты ограничимся рассмотрением движения одной частицы массы р в потенциальном поле U (х, у, z, t). Уравнение Гамильтона — Якоби пишется для функции действия S0(x, у, z, t), которая обладает тем свойством, что

р,= -^Ч Р»---^. р<=--§Ч (35-1)

где рх, ру, pz — проекции импульса частицы на оси координат. Само уравнение Гамильтона — Якоби для рассматриваемого случая имеет вид

^ = i-[(^), + (^),+ №),] + ^.*.«.0. (35.2) Так как функция Гамильтона Н (рх, ру, рг, х, у, z, t) равна

Н{рх, ру, pz, х, у, z, t) = ~(px + pl-\-pl) + U(х, у, z, i), (35.3)

то из (35.1) и (35.2) следует, что уравнение Гамильтона — Якоби может быть написано в виде

^- = Н(-Ж- "IF' (35-4)

Если функция Гамильтона явно от времени не зависит, то она равна энергии частицы Е. Тогда из (35.4) следует

^- = Е, S0 = Et — s0 (х, у, z). (35.5)

Равенства (35.1) показывают, что траектории являются линиями, ортогональными к поверхностям SQ~const. Если // не

зависит от времени явно, то форма этих поверхностей не меняется с течением времени.

На рис. 22 показаны эти поверхности и возможные траектории частицы.

D

изводную через получ

Частица, находящаяся в момент времени t = 0 в точке а, будет двигаться в дальнейшем по траектории ab. Представим себе рой частиц, имеющих различные начальные координаты Xd, zq- Пусть в элементе объема Д V имеется ДМ = рД1/ частиц, где р —плотность частиц. К моменту времени t все эти частицы переместятся в некоторую другую область пространства, но число их, конечно, не изменится. Поэтому, если следить за движением элемента объема AV, связанного с этими частицами, то число частиц в нем остается неизменным. Обозначая локальную проим

Dt

Dt

Но, как известно, локальные производные от р и ДУ равны

dt

Dt

(35.6)

где v —скорость движения частиц. Комбинируя эти выражения с предыдущим равенством, мы получаем уравнение непрерывности

д?

dt

+ div (pv)-O.

На основании (35.1)

v = = V50.

(35.7)

Поэтому (35.6) можно переписать в виде

div (pVS0) - 0, или - -1- (VpVS0 + pV250).

(35.8)

Таким образом, рой частиц движется, как жидкость. Занимаемый им объем не «расплывается», а только деформируется.

Уравнения (35.8) можно истолковывать и иначе. Если мы разделим число частиц ДМ в объеме Д1/ на общее число частиц N,

§ 35} УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА И УРАВНЕНИЕ ГЛМИЛЬТОНА-ЯКОБИ НЗ

то АД//А/ можно рассматривать как вероятность найти частицу в объеме А К, а плотность р —как плотность вероятности.

Обратимся теперь к квантовой механике. Покажем, что временное уравнение

страница 37
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
узкий комод финк-44
встраиваемая влагостойкая акустика
концерт челябинска афиша октябрь
концерт bullet for my valentine санкт-петербург

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(29.07.2017)