химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

веннным функциям оператора L, поэтому

w (Ln, t) = \cn (t) \2 = \сп (0) |2 = const. (33.8)

Вид интегралов движения зависит от рода силового поля, в котором движется частица. Для свободного движения силовая функция U (х, у, z, /) = 0 и гамильтониан будет равен

й = Т = ~(Р1+Ру+Р1). (33.9)

Как и в классической механике, в этом случае интегралом движения, т. е. сохраняющейся величиной, является импульс, действительно,

Г А А 1 | А А ~М Г A A f

[H,Px] = [H,P,] = [H,Pt] = 0, (33.10)

т. е.

7 о, ^-о, ф = о. (зз.п)

1) Речь идет об интегралах движения, не зависящих явно от времени.

§ 331 ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 135

В поле центральной силы имеет место закон площадей — момент импульса есть интеграл движения. В самом деле, в поле центральной силы потенциальная энергия U есть функция расстояния от центра силы: V —U (г). Поэтому для этого случая гамильтониан И может быть написан в виде (ср. (26.6))

H = fr+~ + U(r). (33.12)

Операторы квадрата момента импульса М2 и его проекций Мх, /И,,, Mz, согласно (25.8), зависят только от углов 6, ф, поэтому не действуют на функции от г. Кроме того, оператор М2, входящий в (33.12), коммутирует с Мх, Му и Мг (см. (25.6)). Поэтому

все четыре названных оператора коммутируют с Н (33.12) так,

что

[Й, Л12] = 0, -^- = 0, (33.13)

\й, = М,]=[й, М,]=о, ^ = 1г = = о. (зз.н)

Таким образом, момент импульса в поле центральных сил есть интеграл движения.

Применим теперь равенство (33.1) к гамильтониану. Полагая

L — H, получаем

+ (33.15)

dfi дН , г Л гМ дН

= 0. (33.16)

dt dt 1 L ' J dt Если гамильтониан не зависит явно от времени, то

dt

dti

Однако в этом случае гамильтониан совпадает с оператором полной энергии. Поэтому (33.16) выражает тот факт, что полная энергия в иоле сил, не зависящих от времени, есть интеграл движения. Иначе говоря, (33.16) выражает закон сохранения энергии в квантовой механике.

2) О законе сохранения энергии в квантовой механике см. § 113.

Согласно изложенным выше свойствам интегралов движения уравнение (33.16) следует понимать в том смысле, что ни среднее значение энергии Е, ни вероятности найти отдельные возможные значения энергии Е = Еп не зависят от времени1).

Глава VI

СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ

§ 34. Переход от квантовых уравнений к уравнениям Ньютона

Доказанные в § 32 теоремы Эренфеста утверждают, что во всяком состоянии ф для среднего значения механических величин имеет место квантовое уравнение Ньютона *)

^W = ~ir- (34Л)

Представим себе, что ф отлично от нуля заметным образом лишь в очень малой пространственной области Ах. Такое состояние мы будем называть волновым пакетом.

Если бы среднее значение х изменялось согласно классическому

уравнению Ньютона и форма, пакета не менялась бы, то движение

пакета |ф|2 мы могли бы рассматривать как движение материальной точки, подчиняющейся ньютоновской механике. Вообще

говоря, такого движения по квантовой механике не получается,

так как, во-первых, волновой пакет расплывается, а, во-вторых,

чтобы движение центра тяжести пакета х совпадало с движением

материальной точки в поле U (х), нужно, чтобы осуществлялось

равенство

? - (34.2)

Последнее равенство, вообще говоря, не имеет места. Рассмотрим все же подробнее те условия, при которых движение пакета приближенно совпадает с движением материальной точки. Среднее значение х координаты х, т. е. координата центра тяжести пакета, определяется формулой

J) Мы ограничиваемся одним измерением. Обобщение рассуждений на про* странственный случай не представляет никакого труда.

x = \^*xtydx. (34.3)

Среднее значение силы есть Положим х = х + ?, тогда

(34.4)

дх

дх

+ (^ + E)dE- (34.4')

Допустим, что I/ (х) — достаточно медленно меняющаяся функция переменной х в области, где | ф \2 заметным образом отлично

от нуля. Тогда —д2 можно разложить в ряд по степеням

Производя это разложение, получим

0U дх

дЦ (х) дх

Поэтому

dU (х)

дх дх

йЧ Р dt*

Из уравнения (34.1) имеем

дх

dU (х)

х)2ф dx= (Ах)2. 1 ff4J(x)

dx*

(Ах)!

(Ах)2 1 W{x)

2 а^3

(34.6)

(34.7)

Если силовое поле медленно изменяется в пространстве, то, выбрав

(34.7')

достаточно малую ширину пакета (Ах)2, мы можем в этом уравнении пренебречь всеми членами, кроме первого. Тогда мы получим уравнение Ньютона для движения центра тяжести (х) волнового пакета:

d4 _ _ dU (х) Р dP — дх '

которое будет справедливо для того промежутка времени /, для которого отброшенные в уравнении (34.7) члены малы, т. е. по крайней мере при условии пока

ди (х) дх

д3Ц(х) дх*

(Ах)2.

(34.8)

Величина (Ах)2, определяющая размеры пакета, есть функция времени и, вообще говоря, растет со временем (см. ниже) —пакет расплывается. Поэтому, если даже неравенство (34.8) выполнено в начальный момент времени, то, начиная с некоторого момента /, оно может нарушиться. Но и выполнение неравенства (34.8) еще не означает, что состояние частиц совпадает с классическим *).

Действительно, если взять очень узкий пакет ((Ах)2 мало), то средняя потенциальная энергия частицы по квантовой механике практически равна потенциальной энергии материальной точки, находящейся в центре волнового пакета:

U = [fp*Uipdx^U(x). (34.9)

Но этого нельзя сказать о кинетической энергии Т. Действительно,

f=|=ic-p+p)2=i|L+-S- (34Л0)

В силу соотношения Гайзепберга

(АрУ

поэтому в (34.10) первый квантовый член может оказаться гораздо больше классической энергии частицы, движущейся с импульсом р. Квантовым членом в (34.10) можно пренебречь, если

и ^v " или р2>- (34.11)

2fX ^ 2ц ' " 4 (A.v)a'

Таким образом, движение частицы можно считать происходящим по законам классической механики в течение времени t, если

в течение этого времени можно одновременно удовлетворить неравенствам (34.8) и (34.11).

Одновременному удовлетворению обоих этих неравенств благоприятствуют следующие обстоятельства: 1) большая кинетическая энергия частицы Т, 2) поле U (х) представляет собой медленно меняющуюся функцию координат х.

1) Для всех функций U(х) вида: U — а-\-bx-\-cx2, как следует из (34.7), движение центра тяжести пакета точно совпадает с классическим движением материальной точки в поле U (х). К числу таких случаев относятся: а) свободное движение, в) движение в однородном поле, с) гармонический осциллятор и некоторые другие (например, в однородном магнитном поле получаются те же результаты, что и для осциллятора).

Таким образом, переход от квантовых уравнений движения к ньютоновским получается при переходе к большим кинетическим энергиям частиц и плавно меняющимся полям.

Рассмотрим теперь расплывание пакета для свободного движения частицы. Среднее квадратичное отклонение (Дх)2 есть среднее от величины

(Дх)2 = х2 — х2,

где х — координата центра пакета. Согласно (34.7) имеем

^j = v, x = vt + xo, (34.12)

т. е. центр пакета движется ииерциально со скоростью v. Производные величины (Дх)2 по време

страница 36
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
перевертыши на номера
необычный шоколад купить в москве
подсудность по улицам
межкомнатные ручки с замком

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)