химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

й интеграл преобразуем, пользуясь самосопряженностью

оператора Я. Обозначая -ф* = м?, /;ф = «2, на основании свойства самосопряженности (18.7) получаем

5 (Я*ф*) (Ц) dx = J и2Й*и1 dx = J иТЯи2 = $ ф* (ЯЗД d*. Подставляя это в выражение для находим

Ш = Ж + к \ Г(Ш-НЦ^йх. (31.4)

Введем обозначение

[Я, Z] = ~ (?Я - HL). (31.5)

Оператор ^(LH — HL) будем называть квантовой скобкой

§=%+[й, ?]. (31.6)

Пуассона1). Введенное обозначение позволяет написать (31.4) и форме

dt ~ dt

Мы видим, что производная по времени от среднего значения ? есть среднее от некоторой величины, изображенной

*) Эта терминология заимствована из классической механики. См. допол-]1^ние VI, формулу (4).

rittnn

оператором

Поэтому этот оператор следует принять за оператор ^к производdl dt

ной по времени ^- от величины L, изображаемой оператором L:

Й=| + [Я, Ц. (31.7)

Это определение оператора, изображающего производную по вреdi

Ю-Ъ-^Ъ***. (31-8)

мени t ведет к тому, что

d_ /тч dl dt

т. е. производная по времени от среднего равна среднему от производной по времени.

Если величина L не зависит от времени явно, то формулы (31.6) и (31.7) упрощаются:

§ = [W, L], (31.9)

f=[//, L]. (31.10)

В заключение обратим внимание читателя на то, что при вычислении оператора производной по времени от произведения или от суммы операторов с квантовой скобкой Пуассона можно обращаться как с обычной производной (соблюдая, однако, порядок

сомножителей). Действительно, нетрудно видеть, что если L —

= А + В, то

% = [А, А + ё] = [й, А] + [й, B]=^+^f-f (3i.il)

А А А

и если L = AB, то

А Л s\

А I А АЛ А ЛА АА Л fl А * Л f\

1 = [Я, ЛВ] = [Я, А]В + А[Н, B]=d-ЈB + A^T. (31.12)

§ 32. Уравнения движения в квантовой механике.

Теоремы Эренфеста

Найдем теперь законы изменения импульсов и координат с течением времени.

Импульсы и координаты являются величинами, не зависящими явно от времени. Поэтому, согласно (31.10), операторы производУРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ЭРЕНФЕСТА

131

ных этих величин по времени выражаются просто через квантовые скобки Пуассона, т. е. в конечном счете через операторы

А

самих этих величин и гамильтониан Н, характеризующий рассматриваемую механическую систему.

Обозначим операторы декартовых координат х, у, z и соответствующих импульсов рх, ру, Р; соответственно через X, У, Z

и Рх, А/, Рг1)- Гамильтониан Н будет функцией этих операторов и, вообще говоря, времени /:

Н = Н(РХ, Ру, Pz, X, У, Z, t). (32.1)

~. dX dY dZ

Обозначим далее через , , операторы производных

координат по времени, т. е. операторы проекций скорости на оси

dPx dPu dPz

координат, а через -~ — операторы производных проекций импульса по времени.

А А А А А А А

Подставляя в (31.10) вместо L операторы X, Y, Z, Рх, Ру, Р., получим искомые операторные уравнения

= X], ~ = [Н, У], § = [Я, Z], (32.2)

d4f = {li, РЛ ^[Й, Ру], ф = [Н, РА- (32.2')

Эги операторные уравнения вполне аналогичны классическим уравнениям Гамильтона и поэтому называются квантовыми уравнениями Гамильтона2).

В классической механике первая группа уравнений (производные от координат) устанавливает связь между скоростью п импульсом, а вторая группа (производные от импульсов) выражает законы изменения импульса во времени. Такое же значение имеют л квантовые уравнения Гамильтона. Для того чтобы в этом убедиться, следует раскрыть явно скобки Пуассона в (32.2) и (32.2'). Ради простоты рассмотрим случай, когда магнитные силы отсутствуют. В этом случае гамильтониан имеет вид (см. (27.2))

U = ^(Pl + Pl + Pi)+U(X* Y, Z, t). (32.3)

Рассматривая волновую функцию как функцию координат частицы х, у, z и времени t, имеем следующие выражения для

') Мы ограничиваемся рассмотрением движения в декартовой системе к"(,рдинаг. Об уравнениях в криволинейной системе координат см. дополнение VII.

") Ср. дополнение VI, уравнение (5).

операторов:

дг

X —- х, Y = y, Z = z, Px==~~ifiHx> Py=~ihHy'> P2 = —ihd

(32.4)

Вычислим теперь оператор Имеем

А л 1 А А А А I А А А А

[Я, Х] = ш(ХН-НХ) = т(ХР1-Р1Х),

(32.5)

так как X коммутирует с Я,у, Р2% U (л*, у, z, t). Правило переА А

становкп операторов X и Ях (24.2) дает

А А А л A A A A AAA А

рхх = рх (РХХ) - px (ХРХ - ih) = (РХХ) рх - трх =

= (ХРХ - ih) Рх - П;РХ = ХЯ; - 2ihPx. (32.6)

(32.7)

Подставляя это выражение в (32.5), находим

1

[Я, *Н~Р*.

Для //, г, очевидно, получим аналогичный результат; поэтому

dx

dY _ Ру

с// u. ' dt \i ' ^ |i ' (32,8)

т. е. оператор скорости равен оператору импульса, деленному на мпссу частицы р. Иными словами, связь между операторами скорости и импульса такова же, как и связь между соответствующими величинами в классической механике.

с\Р

Найдем теперь оператор Из (32.2') и (24.4) имеем

т. е.

[Я, Px\ = {h(PJU-UPx)=dt

dPx__0U dPy ___dU dP± дх' dt '~ dy* [dt

dU dx dU дг'

(32.9)

(32.10)

ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ

133

Если мы вычислим среднее значение от величин^-, ~ит.д.

в каком-нибудь состоянии ф, то из (32.8) и (32.10) на основании (31.8) получаем

# = = (32-13)

и т. д. Иначе говоря, производная по времени от средней координаты л" равна среднему импульсу, деленному на массу частицы, и производная от среднего импульса рх равна средней силе Fx. В раскрытой форме равенства (32.12) и (32.13) имеют вид

~ ^ ф*лт|> dx = у ^ г|>* Рх-ф dx, (32.12')

4" \ VPAdx = — jj V^dx. (32.13')

Они носят название теорем Эренфеста. Дифференцируя (32.12) по времени и исключая из (32.12) и (32.13) ~^f{px), получим квантовое уравнение Ньютона

§ 33. Интегралы движения

В квантовой механике мы имеем те же интегралы движения, что и в классической. Величина L будет интегралом движения, если

Особой, интерес представляет случай, когда величина L не зависит явно от времени; тогда вместо (33.1) имеем

Л

%- = 1йЛ]ев09 (33.2)

т. е. для интегралов движения (не зависящих явно от времени) квантовая скобка Пуассона равна нулю.

Так как \Н, L\ определяется коммутатором оператора L и оператора Гамильтона, то всякая величина L, не зависящая явно от времени, будет интегралом движения, если ее оператор коммутирует с оператором Гамильтона.

Из формул (33.1) и (33.2) следует, что среднее значение интегралов движения не зависит от времени

4" (9 = 0. (33.3)

Покажем теперь, что и вероятность w (Ln, t) найти в момент времени t какое-нибудь значение интеграла движения, равное, скажем, Ln, не зависит от времени1).

А А

Так как операторы L и Н коммутируют, то они имеют общие собственные функции фд(х):

Iip„ = 1„фя, (33.4)

= (33.4')

Разложим произвольное состояние ф (л*, /) по собственным функциям tyn. Эти функции суть функции стационарных состояний, поэтому (ср. (30.8))

_ . Erf

V(x9t) = ]Јca%(x)e 1 h , (33.5)

h

ИЛИ

Ч>(*. 0 = 2c«W *«(*). (33.6)

п

где

cn(t)^cne i~ = Cn(0)e (33.7)

Разложение (33.6) есть разложение ф (х, () по собст

страница 35
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
купить петлю для холодильника аристон erf382x
настенные колонки 5 1
душевые двери huppe официальный сайт
дешевые склады для бытовых квартирных вещей в москве складовка

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(07.12.2016)