химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

игурных скобках может быть преобразовано следующим образом:

<НуАф*ф -f А(ф*Уф -f ^V^*) div Аг^*\р + AV (г^*г|0 = div (Агр^-ф).

Подставляя этот результат в предыдущее выражение и деля на iht получаем

~ffT- +div {27 I*v**" **v*l - k a***} = °- <29-17)

Это и есть уравнение непрерывности при наличии магнитного поля, описываемого вектором-потенциалом А. Выражение в фигурных скобках должно быть плотностью тока j; оно совпадает с (29.5").

Справедливость уравнения непрерывности теснейшим образом

А

*) Видоизменение обусловлено тем, что при наличии магнитного поля oneАЛЛ

раторы ЯЛ., Ру, Рг суть операторы обобщенного импульса, а не обычного (произведение массы на скорость). Так же обстоит дело и в классической механике. (Ср. дополнение VI, формула (10').)

связана с самосопряженностью гамильтониана Н. Это свойство гамильтониана было неявно использовано нами при выводе (29.5)

§ 301 СТАЦИОНАРНЫЕ состояния 125

и (29.17). В дополнении VIII более подробно рассмотрена эта сторона дела и показано, каким образом из требования самосопряженности оператора Н вытекают требования к поведению волновой функции в особых точках (§ 20), обеспечивающие справедливость уравнения непрерывности во всем пространстве.

§ 30. Стационарные состояния

л.

В отсутствие переменных внешних полей гамильтониан Н не зависит от времени и совпадает с оператором полной энергии

л

Н(х). В этом случае уравнение Шредингера

i%d-^~^ = H(x)\p(x, t) (30.1)

имеет важные решения, получающиеся путем разделения переменных х и U

Ч>(*. t)=xp(x)f(t). (30.2)

Подставляя (30.2) в (ЗОЛ) и обозначая постоянную разделения переменных через Е, мы получаем

ih% = Ef, (30.3)

Н (x)\p(x) = Ety (х). (30.4)

Первое уравнение решается сразу:

. Et

/ (0 = const • <Г'X (30'5>

Что же касается второго уравнения, то, как видно, оно совпадает

а

с уравнением для собственных функций оператора энергии *) Н. Если обозначить эти функции через фл (х)> а собственные значения через Еп (для определенности мы берем случаи дискретного спектра энергии), то окончательное решение (30.2) запишется в виде. V

Ы*, ()=Уп(х)е~1'1Г. (30.6)

Отсюда следует, что состояния с определенным значением энергии Еч ((Д?)2 = О) гармонически зависят от времени с частотой, равной

1) Уравнение (30.4) получается из общего уравнения (20.2), если там положить L = H, L = E.

Этот результат распространяет соотношение де Бройля Ј = foo, применявшееся первоначально к свободному движению, на любые системы.

Состояние (30.6) с определенным значением энергии по причинам, которые сейчас выяснятся, называют стационарным. Уравнение же (30.4) называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. В силу линейности уравнения (30.1) его общее решение ф(л\ /) может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний с произвольными, но постоянными амплитудами, именно,

Ч> (х, 0 = 2 СпЪп (х)е h . (30.8)

Амплитуды сп определяются через начальную функцию г|) (л*, 0). В самом деле, в силу ортогональности функций г|)л имеем

сп = \У(х, 0)г|Я (*) dx. (30.9)

Вычислим теперь вероятность местоположения частицы wn (х, t) и плотность тока вероятности \п (xt t) в /г-м стационарном состоянии. Согласно (29.4) и (29.5) имеем

wn(x, t) = \%(xt f)\* = $*(x, t)ypn(xy t),

}n(X, 0=^\Чя(*> t)S/tyn(x, t)-W(xt t)ytyn(xt t)}.

Подставляя сюда фя (xt t) из (30.6), находим, что

wn(x, t) = w„(xt 0), (30.10)

U(x, t)=)n(x, 0), (30.11)

т. е. в стационарных состояниях вероятность местоположения частицы и плотность тока вероятности не зависят от времени.

Отсюда же (имея в виду (29.11)) следует, что в этих состояниях средняя плотность электрических зарядов ре и средняя плотность электрических токов }е не зависят от времени.

Таким образом, система, находящаяся в состоянии с определенной энергией Еп((АЕ)2 = 0), представляет собой систему статически распределенных зарядов и постоянных токов.

Характеристика стационарных состояний будет более полной, если мы обратим внимание читателя на то, что в стационарных состояниях вероятность w (L) нахождения какого-нибудь значения L любой механической величины (не зависящей явно от времени) не зависит от времени. Вместе с тем и среднее значение L является постоянным. Для доказательства этого положения

СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ

127

воспользуемся формулой (22.14)

w(L) = \c(L)\\

где c(L) есть амплитуда в разложении ф (х, t) по собственным

функциям \pL (х) оператора L, представляющего величину L. Согласно (21.16) имеем для стационарного состояния ф„ (х, /) (30.6)

-Л'

c(L) = \№ (х)фл(*. t)dx = e п $ ф? (*) Ф„ (*) и, следовательно,

w (L) = | с (L) |2 -1J ф? (х) фя (х) dx |2 = const. (30.12)

Глава V

ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

§ 31. Производные операторов по времени

Уравнение Шредингера позволяет установить простые правила, следуя которым можно вычислить изменение среднего значения той или иной механической величины за бесконечно малый промежуток времени, иными словами, вычислить производную по вре-d

мени ^-Z от среднего значения Z некоторой величины L.

Физический смысл этой производной таков. Допустим, что в момент времени t имеется микросистема, описываемая волновой функцией ф (х, /). Произведем измерения величины L в этом состоянии. Мы получим результаты отдельных измерений L', L", L"\ ... Среднее из большого числа измерений будет L (i) и вычисляется по форлуле

Z(/) = t)L$(xt t) dx. (31.1)

Другую серию наблюдений мы проведем в момент времени /' = ^ + Д/, близкий к t. Мы получим новую серию результатов. Выполнение двух серий измерений в момент t и момент t-\-At следует представлять себе следующим образом. Имеется ансамбль из большого числа N независимых экземпляров микросистем, находящихся в состоянии г|э /). Мы разбиваем N на две большие группы N' и N". В момент t мы производим измерения в первой группе частиц N' и получаем L (/), при этом состояние этих микросистем, вообще говоря, изменится, и оно уже больше не описывается функцией я|) (ху t). Затем в момент t + kt мы произведем измерения в группе микросистем N"y не тронутых первым измерением. Из этих измерений и получается новое среднее L(t4-At), которое, вообще говоря, будет другим, так как за время А/ состояние, описываемое г|) (xt t), изменится и те же результаты Z/, L'\ L"\ ... будут получаться с иной степенью вероятности. Кроме того, может случиться, что сама величина L явно зависит от вреПРОИЗВОДНЫЕ ОПЕРАТОРОВ ПО ВРЕМЕНИ

129

мени, так что и возможные значения L', L", L", ... будут изменяться с течением времени. Обозначим средний результат измерений в момент t~\-At через L(t-\-At), тогда

Вычислим эту производную. Дифференцируя (31.1) по времени, получаем

Очевидно, что первый член есть среднее значение ^ и равен нулю,

если L явно не зависит от времени. Два последних члена мы упростим, пользуясь уравнением Шредингера (28.3). Именно, из (28.3) имеем

dt ift nv> dt ihn * '

dL=dL dt ~ dt

Подставляя эти выражения в (31.3), найдем

- i J (й*Г) (?*) dx+1J г dx.

Первы

страница 34
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
бухгалтерские курсы упрощенка для начинающих в москве лучшие
где можно сделать узи
фараон v21 отзывы
купить билет на концерт би2 в нижнем новгороде

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)