химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

частиц, волновая функция действительна. В этих случаях плотность вероятности w (х) = j г|) (А*) |2 = \]г (л*) и г|) (х) =

= ±: V'w(x).

Однако вся проблема определения т|? (х, 0) упрощается тем, что в подавляющем большинстве практически интересных случаев мы имеем дело с ансамблями частиц, имеющих определенный полный набор механических переменных L, М, N. Зная их значения из измерений в момент времени / = 0, можно, пользуясь математическим аппаратом квантовой механики, вычислить и начальную волновую функцию.

Действительно, если в момент времени / = 0 измерены значения L, М, N этих величин, то мы можем утверждать, что начальная волновая функция есть общая, собственная функция оператоАЛА

ров L, М, N, принадлежащая собственным значениям2) L, М, N.

На этом пути вся проблема определения волновой функции сводится к выяснению того, какие величины образуют полный набор.

Ниже показано, что эти величины должны обладать следующими свойствами: 1) они одновременно измеримы, 2) число их равно числу степеней свободы системы, 3) они независимы между собой.

Имея в виду дальнейшие обобщения, будем считать, что волновая функция является функцией / переменных (система с / степенями свободы).

Интересующая нас функция есть собственная функция и поэтому принадлежит к полной системе ортогональных функций в пространстве / измерений.

г) См. теорию рассеяния гл. XIII.

-) Например, если начальное состояние характеризуется заданием импульса частицы р (в этом случае L—-px, М = ру, N = pz), то я}: (г, 0) = i|> (х) есть плоская волна де Бройля, принадлежащая импульсу р.

Каждая такая функция характеризуется / параметрами а, р, у, ... («номерам функции).

Если такая функция -фа pf Yi _ (,v, г/, z, ...) есть собственная

функция операторов L, М, N, то собственные значения L, Л4, jV, ... будут функциями этих параметров. Мы будем иметь

L^a, p. Y. ... = 1 (а» Р. 7» - • •) Фа. В, у, .... Мфа, р, Y, ... = М (а. Р» Y» • • ?) Фа. Р, Y. Л*а, Р, v. ... = ^ («. P. Y. • • ОФа, Р. у. ....

(28.5)

Эти уравнения совместны, если

[L M] = [L N] = [M, #] = ... = О, (28.6)

т. е. если величины L, М, N,... одновременно измеримы. Далее, чтобы определить по измеренным L, /И, Л^, ... параметры а, р, у, нужно решить / таких уравнений:

L=L(a, Р, у, ...), М=Л1(а, р, у, ...), tf=tf (а, р, у, ...)..., (28.7)

при этом ни одно из них не должно быть следствием другого, т. е. величины L, М, N, ... должны быть независимыми1).

§ 29. Сохранение числа частиц

Из уравнения Шредингера можно получить закон сохранения числа частиц, выражаемый уравнением непрерывности

a'+divj-O, '(29.1)

где до—средняя плотность числа частиц в точке Л', у} z, a j — средняя плотность потока частиц.

Для того чтобы получить это уравнение, возьмем уравнение Шредингера сначала для простого случая потенциальных сил (28.4)

<74? =-|-V4 + ^'. (29.2)

Уравнение для комплексно сопряженной функции будет

Умножая уравнение (29.2) на а|)*, а (29.2') на ф и вычитая второе уравнение из первого, получим

]) Эти параметры могут быть непрерывными или дискретными. В простейшем случае разделяющихся переменных такая функция имеет вид Ни. ,i. Y. ... (*, yt z) = иа (х) -jjj (у) wY (г) ....

т (Г f + + = -1 (Г v2* -* V**) •

Это равенство может быть переписано в виде

? ф*ф есть плотность вероятности w:

w = ^\ (29.4)

Если через j обозначить вектор

J = Ј(W-**V*). (29-5)

то уравнение (29.3) запишется в форме

dw

dt

+ divj = 0. (29.6)

Отсюда следует, что вектор j есть вектор плотности тока вероятности. Уравнение (29.6) получает более наглядное толкование, если заметить, что w--ф*ф может рассматриваться так же, как средняя плотность частиц. Тогда j следует рассматривать как средний поток частиц через площадь в 1 см2 в 1 сек. В соответствии с этим уравнение (29.6) нужно толковать как закон сохранения числа частиц. В частности, интегрируя (29.6) по некоторому конечному объему V и применяя теорему Гаусса, получаем

^ dv = — jj div j dv = — § /„ ds, (29.7)

V V 5 .

где последний интеграл взят по поверхности 5, охватывающей объем V. Распространяя интегрирование по всему пространству (V-*-co) и имея в виду, что волновые функции ф, а вместе с тем и плотность тока j обращаются на бесконечно удаленной поверхности в нуль х), мы находим

filwdv = ±^*$dv = 09 (29.8)

со со

1) В случае, когда функции ф неинтегрируемы, интеграл ^ \п ds может и

не обратиться в нуль даже по бесконечно удаленной поверхности. Физически это означает существование потока частиц из бесконечности или в бесконечность.

т. е. полная вероятность найти частицу где-либо в пространстве не зависит от времени. Следовательно, число частиц остается неизменным. Вместе с тем (29.8) утверждает, что нормировка волновых функций не меняется с течением времени, положение, о котором мы уже упоминали в § 10.

Умножим j и w на массу частицы р:

ftl = no; = M.|t|>|2, = (29.9)

Тогда ptl имеет смысл средней плотности вещества (массы), a j\t — средней плотности тока вещества {массы). Из (29.6) следует, что эти величины подчиняются уравнению непрерывности

5- + div^ = 0, (29.10)

т. е. изменение массы в некоторой бесконечно малой области обусловлено втеканием или вытеканием этой массы через поверхность, ограничивающую эту область.

Подобным же образом, умножая w и j на заряд частицы е, получим среднюю плотность электрического заряда и среднюю плотность электрического тока:

9e = ew = e\q\\ j^|*(W*-^*Vi|)), <29Л1>

для которых опять-таки получается уравнение непрерывности

dt

* +div ь = 0. (29.12)

Уравнения (29.10) и (29.12) выражают закон сохранения массы и заряда в квантовой механике.

Если представить волновую функцию ф в виде

ф = ие«'в, (29.13)

где « — действительная амплитуда, а 0— действительная фаза, то подстановка (29.13) в (29.5) дает

j = 1 и2Ш (29.5')

Так как и2 есть плотность w, то величина — V0 может быть ис-толкована как средняя скорость в точке х, у, z\

v=-V0, (29.14)

ц.

tl г,

а величина — 0 — как потенциал скорости.

Из формулы (29.5') с особой ясностью видно, что плотность тока j отлична от нуля лишь в том случае, когда состояние описывается комплексной функцией ф.

При наличии магнитного поля 3?, описываемого вектором-по-тенииалом А (<№ — rot А), формула для плотности тока j должна быть видоизменена1). Именно, при наличии магнитного поля вместо (29.5) получается выражение для плотности тока:

J = g lm* - +*V*] - ~ A***- (29.5")

Чтобы получить это выражение, следует подставить в уравнение Шредингера (28.3) гамильтониан (27.9) для движения в произвольном электромагнитном поле. Производя эту подстановку, находим уравнение Шредингера для этого случая:

1ПЫ - " 2~ ^ + t ^ + ? div А* + А»» + ^ +

(29.15)

и для сопряженной функции

~ А2ф* + еУ^* + Щ*. (29.16)

Умножим опять первое уравнение на г|г, а второе на и вычтем второй результат из первого. Тогда получается

= - ?*. div (ф*Vi|> - i|>V4)*) +

+ - {div Aft-*t|0 + A(i|j*V\|?*-f фУф*)}.

Выражение в ф

страница 33
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
забор из профнастила цена всеволожск
лечение гарднереллёза
зарядные устройства для гироскутеров
токио хотел в россии 2017 билеты

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(07.12.2016)