химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

некоторого момента / не производится, так что речь идет об изменениях состояния, вызванных исключительно движением частицы (или системы частиц) самой по себе, без вмешательства измерительного прибора.

Каким образом в этом случае связаны между собой волновые функции ij) (Ху 0) и я|> (*, t)?

1) Мы оставляем открытым вопрос, насколько такая общепринятая форму-лиропка принципа причинности является единственной. Возможна и такая постановка вопроса, когда решение не определяется начальными данными, а выбирается условиями, относящимися и к прошедшему, и к будущему, так что получается задача на нахождение собственных решений в пространстве и времени.

Так как волновая функция полностью характеризует чистый ансамбль, то она должна также определять и его дальнейшее развитие. Это требование выражает принцип причинности в применении к квантовой механике1). Математически это означает,

что из волновой функции Ф (х, 0) для t = 0 должна однозначно определяться волновая функция г|з (х, t) в более поздние моменты времени.

Рассмотрим функцию ф в момент времени А/, бесконечно близкий к / = 0. Тогда

Согласно сказанному [p-^f— )f о должно определяться из г|? (х, 0), т. е.

Ш(х, /)\

'/ - о

= L(,v, 0)г|>(*,0),

где L (х, 0) —некоторая операция, которую следует произвести

над 1|э (х, 0), чтобы получить ^]f) 0Так как момент / = 0 взят совершенно произвольно, то будем иметь

L(x, t) Цх, t). (28.1)

А

Вид оператора L, который можно называть оператором смещения во времени, не может быть определен из изложенных выше положений квантовой механики и должен быть постулирован.

Согласно принципу суперпозиции состояний этот оператор должен быть линейным. Далее, оператор L не может содержать ни производных, ни интегралов по времени. В самом деле, если бы он содержал первую производную по то это означало бы просто,

л.

что оператор L есть не тот оператор, который мы хотим иметь:

А

оператор L выражает первую производную по t через ф (х, /). Если бы он содержал высшие производные по /, то (28.1) означало бы уравнение для ф более высокого порядка, чем первый, и следовательно, для определения состояния в последующие моменты времени нужно было бы знать при 1 = 0 не только

i|> (х, 0), но и производные по времени от \р: ^)0> (^f)0» •••1)>

т. е. волновая функция ф не определяла бы состояния системы, что противоречит нашему основному предположению (г|э определяет состояние системы). Наличие интеграла по t означало бы,

х) Так, например, уравнение для колебаний струны есть уравнение второго порядка по времени. Для определения состояния струны в момент / — 0 нужно знать не только отклонение струны а (х, /) для t — Q, но и скорости ее точек

~Ъч при /==0'

что для последующего играет роль значение г|э па целом отрезке

времени, т. е. история процесса. Таким образом, L может содержать t лишь как параметр.

Уравнение (28.1) позволяет по начальной волновой функции ?ф (х, 0) найти функцию чр (х, t) и тем самым предсказать вероятность результатов различных измерений в момент t, в предположении, что в интервале от /==0 до t система не испытывала никаких дополнительных воздействий, в частности, не подвергалась измерению.

Изменение волновой функции, имеющее место при измерениях («редукция»), не описывается каким-либо дифференциальным уравнением, а вытекает непосредственно из самого результата измерения (§ 17).

Правильный выбор оператора L подсказывается рассмотрением свободного движения с определенным значением импульса р. Волновая функция для такого движения есть волна де Бройля

где

F_Pl + Py + Pl

Непосредственная подстановка показывает, что эта волна удовлетворяет уравнению

dt ~ 2ц v ^

Это последнее уравнение можно переписать в виде

dt - ihnv>

А

если под оператором Н понимать гамильтониан для свободного движения частицы

л л Ъ1

Отсюда следует, что для свободного движения оператор смещения во времени L = —1-H.

r ih

В квантовой механике делается обобщение этого частного результата, именно, принимают, что этот оператор смещения L всегда равен

Ј = 77f#. (28.2)

где Н есть гамильтониан (оператор функции Гамильтона), вид которого для разных случаев рассмотрен в § 27.

В соответствии с этим постулатом уравнение (28.1) для волновой функции ф может быть теперь записано в виде

ihd± = Hty. (28.3)

Это уравнение носит название уравнения Шредингера. Оно образует одну из основ квантовой механики г) и обоснование свое'находит не столько в теоретических и исторических обстоятельствах, приведших к установлению этого уравнения, сколько в согласии с опытом.

В раскрытом виде уравнение Шредингера (28.3) в отсутствие

А

магнитного поля, в соответствии со значением оператора Н (см. (27.2) и (26.2')), имеет вид

ih Tt = ~ J" V^ + ^ (*. 0. О ? (28.4)

(при наличии магнитного поля следует взять Н из (27.9)).

Наиболее важной особенностью уравнения Шредингера является наличие мнимой единицы перед производной В классической физике уравнения первого порядка по времени не имеют периодических решений —они описывают необратимые процессы, например, диффузию, теплопроводность2). Благодаря мнимости

коэффициента при ^J- уравнение Шредингера, будучи уравнением

первого порядка по времени, может иметь и периодические решения.

Связанная с уравнением Шредингера постановка вопроса «найти г|) (х, t)y если дана ф (xt 0)», имеет смысл лишь в том случае, если ф (х, 0) может быть однозначно сопоставлено с некоторыми определенными физическими условиями.

Такое сопоставление не является, однако, тривиальным, так как волновая функция по самой своей природе является величиной неизмеримой (напомним, что ф и \р' = а\р, где а —любая постоянная, изображают одно и то же состояние).

!) Во многих курсах стремятся «вывести» уравнение Шредингера. На самом деле, это уравнение ниоткуда не выводится, а образует основу новой теории. Поэтому мы предпочитаем постулировать его, ограничившись приведенными выше доводами в пользу такого постулата.

-) Конечно, характер решения дифференциального уравнения зависит еще и от краевых условий. Проводя указанное противопоставление, мы имеем в виду случаи, когда ни U (х, у, г), ни краевые условия не зависят от времени.

Измеримыми являются значения механических величин L, М, N частицы (или системы частиц) и вероятности, с которыми обнаруживаются эти значения в ансамбле частиц (или систем).

Поэтому мы могли бы рассчитывать только на то, что по измерениям вероятностей в ансамбле окажется возможным вычислить волновую функцию с точностью до несущественного постоянного множителя. Эта задача вычисления волновой функции по измеренным вероятностям в общем случае совсем не является простой, так как вероятности определяют только | ij; (х) |2 или вообще квадраты модулей амплитуд | сп 2 разложения г|? (х) по собственным функциям какого-либо оператора, а фаза \\> (х) или сп остается неопределенной 1).

Только в исключительных случаях задача становится простой, или даже тривиальной.

Например, в § 29 будет показано, что в состояниях, в которых нет потока

страница 32
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Твердотопливные котлы Wirbel EKO EL 40/24_new
кухонная металлическая посуда
Candino Elegance C4557.2
установка vs-75 эксплуатации

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)