химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ствуют простые правила для написания функции Гамильтона. Ее вид определяется природой механической системы, т. е. природой частиц и их взаимодействием между собой и с внешним полем. Зная эту функцию Гамильтона, можно легко найти уравнения движения в произвольной системе координат.

Подобные же правила для написания оператора функции Гамильтона — гамильтониана — имеются и в квантовой механике.

Мы ограничимся пока рассмотрением движения одной частицы во внешнем поле и только позднее (§ 102) рассмотрим гамильтониан для системы частиц.

Следует различать два важных случая: когда силы не зависят от скорости частицы и когда они зависят от нее. В первом случае сила F является функцией только координат частицы и времени и может быть представлена как градиент некоторой функции U (х, уу г), которую мы назовем силовой функцией1):

F= - \U(x, у, г, t). (27.1)

*) Чаще в механике под силовой функцией понимают — U. Заметим еще, что, представляя силу как градиент от U, мы исключаем вихревые поля (случай, когда rot F Ф 0). Однако такого рода силы, не зависящие от скорости, В механике микрочастиц неизвестны.

Если силы не зависят от времени, то U (х, //, г) есть не что иное, как потенциальная энергия частицы. В этом случае функция Гамильтона совпадает с полной энергией частицы и равна Т + U (х, у у г). Соответствующий гамильтониан есть (26.8) и совпадает с оператором полной энергии. В более общем случае функция Гамильтона есть сумма кинетической энергии Т и силовой сГункции U : Н = Т + U (ху у% г, t). Так как U не является

§271 ГАМИЛЬТОНИАН ЦЗ

теперь потенциальной энергией, то и Я не есть полная энергия системы.

В полной аналогии с классическим выражением функции Гамильтона гамильтониан напишется в квантовой механике для этого случая в виде

H = t + U(x, у, г, 0, (27.2)

где U — силовая функция.

Остается рассмотреть случаи сил, зависящих от скорости частицы. В микромире единственными известными силами такого рода являются силы, возникающие в электромагнитном поле (сила Лоренца). Поэтому достаточно рассмотреть гамильтониан для движения заряженной частицы (заряд е, масса р) в произвольном электромагнитном поле.

Как известно из теории поля, произвольное электромагнитное поле может быть описано с помощью скалярного потенциала V и векторного потенциала А, причем

g=_VV-I^. (27.3)

<5^ = rotA, (27.4)

где & — напряженность электрического поля, <№— напряженность магнитного поля.

Классическая функция Гамильтона Я, приводящая к правильным уравнениям движения в электромагнитном поле, имеет вид

я=2Нр-И2+<^. <27-5)

где р (рх, p,j, рг) есть вектор обобщенного импульса ^так что

р —-~A = jiv, где V —скорость частицы, но ру^ру!^1).

Оказывается, что в квантовой механике мы получаем правильный гамильтониан, если под р будем понимать оператор импульса

Р ~ — ift\t т. е. оператор Гамильтона для этого случая есть

й-Цр-"с\*+еУ- (27-6)

Если помимо электромагнитных сил имеются еще и другие силы, описываемые силовой функцией U, то общим выражением для гамильтониана будет

]) См. дополнение VI.

й=i [р- т А)2+eV+и- (27-7)

Далее, на основании (24.4) имеем

поэтому

Повторяя вычисления для остальных двух членов в (27.8) и складывая результаты, находим

Й = i Р2 - (i- А/»+g d iv А + ^ А« + ffV + U. (27.9)

Оператор функции Гамильтона или энергии, как следует из изложенного в этом и предыдущем параграфах, определяется двумя обстоятельствами: 1) природой частицы (в общем случае — системы частиц, ср. §• 102) и 2) природой действующих на нее полей.

Этот оператор является основным для механики, так как, выбирая его, мы в сущности формулируем на математическом языке все особенности той системы, с которой мы намерены иметь дело.

В частности, число независимых переменных, входящих в гамильтониан, по определению равно числу степеней свободы нашей системы.

Успех решения задачи, в смысле согласия выводов теории с опытом уже предопределяется тем, насколько основательно выбран гамильтониан (все ли важные взаимодействия учтены!).

Обычно в качестве независимых переменных в гамильтониане берут декартовы координаты частицы, так как именно при этом выборе переменных операторы взаимодействий (например, потенциальная энергия) выражаются наиболее просто (числом), а оператор кинетической энергии — сравнительно простым дифференциальным оператором второго порядка. Однако возможны и другие выборы независимых переменных х).

*) Если частица обладает «спином» (ср. §§ 58, 59, 60), то наряду с координатами в гамильтониан входит спиновая переменная.

Чтобы получить выражение гамильтониана в произвольной криволинейной системе координату, q2, <73> достаточно преобразовать

полученный нами для декартовой системы координат гамильтониан в эту систему, следуя обычным правилам дифференциального исчисления. (Пример такого преобразования дает формула (26.5).) Вид гамильтониана в криволинейной системе координат не находится в таком простом отношении к классической функции Гамильтона, какое имеет место в декартовой системе координат (замена р на

оператор Р). Это обстоятельство не является случайным. Декартова система в квантовой механике выделена среди всех других координатных систем тем, что в этой системе кинетическая энергия выражается суммой квадратов компонент импульса рх, ру, р?, так что измерив импульс, мы можем вычислить кинетическую энергию.

В криволинейной системе координат кинетическая энергия выражается в виде квадратичной функции обобщенных импульсов:

з

Т= 2 aik(Qi> ?2, qsiPiPk, (27.10)

i,k=\

*) Об уравнениях квантовой механики в криволинейной системе координат см. дополнение VII.

причем коэффициенты alk являются функциями координат. Измерение pk (k = 1, 2, 3) еще не определяет кинетической энергии, так как нужно еще знать aik. Последние суть функции координат qu (k = 1, 2, 3) и поэтому не могут быть определены одновременно с импульсами pk. Таким образом, только в декартовой системе координат измерение импульсов есть в то же время и измерение кинетической энергии *).

Глава IV

ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ

§ 28. Уравнение Шредингера

Пусть в какой-нибудь момент времени t = 0 дана волновая функция \Ь (дг, 0), описывающая состояние ансамбля частиц (буквой х мы обозначаем совокупность всех координат частицы). С помощью этой волновой функции мы можем вычислять вероятность результатов измерения различных механических величин для момента времени t =?? 0 в ансамбле частиц, находящихся в состоянии ty(x, 0). В этом смысле мы говорим, что волновая функция ij) (ху 0) определяет состояние частицы в момент времени t = 0.

Допустим теперь, что мы намерены произвести измерения не в момент времени / = 0, а позднее, в момент /;>0. За это время состояние частицы (в общем случае— системы частиц) изменится и будет изображаться некоторой новой волновой функцией, которую мы обозначим через i|) (х, I). Как мы знаем, волновая функция меняется также в результате измерений («редукция волнового пакета», § 17). Сейчас мы предполагаем, что никаких измерений в интервале от / = 0 до

страница 31
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
лайтбоксы дешево
гофра для глушителя форд
ребро жесткости передней двери ваз 2112
бачок для воды

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)