химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

самом деле, уравнение для собственных функций оператора Мг есть

/М> = ЛМ>, (25.23)

подставляя сюда Mz из (25.8"), получим

-*ftg-AM>. (25.23')

Если сюда подставить то, имея в виду, что i|?/OT пропорционально е,тф, мы найдем

- itl • imfyim = Mzqlmt т. е. уравнение (25.23) удовлетворяется функцией ifrOT, причем собственные значения оператора Мг равны

Мг = Пт, /п = 0, ± 1, ±1. (25.24)

Отсюда следует, что состояния при заданном полном моменте Mf (дано /), различающиеся индексом т, суть состояния с различными проекциями момента на ось OZ.

Полученный нами результат показывает, что возможные значения абсолютной величины момента импульса (25.21) и возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось OZ (25.24) имеют квантовые значения. Никакие другие значения, кроме- приведенных, не могут реализоваться в природе. В состояниях, в которых М2 и Мг имеют определенные значения, проекции Мх и Му не имеют определенных значений (кроме случая / = 0, когда М2 = Мх = Му = Мг = 0). Действительно функции (25.22)

не являются собственными функциями операторов Мх и Му (25.8), в чем можно убедиться непосредственно. Это же вытекает из некоммутативности Мх, Му, Мг.

Разумеется, что возможные значения Мх и Му таковы же, как и Mz (25.24), ибо направление OZ ничем не выделено, и чтобы убедиться в справедливости нашего утверждения, достаточно представить себе, что ось ОХ или OY принята за полярную ось. Поэтому, если мы будем измерять Мх или Му, то мы получим всегда одно из значений Нт (т = 0, =h 1, =Ь 2,± /), но при этом возникает новое состояние с определенным значением, скажем, Мх. Это состояние" будет состоянием с неопределенными Му и Мг, т. е. одновременные измерения компонент момента импульса взаимно исключаются: измерение одной компоненты делает неопределенным значение другой.

Обратим внимание читателя на некоторые свойства симметрии собственных функций операторов момента количества движения. Произведём операцию замены координат х, у, z на —х, —у, —г, соответственно (отражение от начала координат), которая называется операцией инверсии. В~ сферических координатах это означает замену координат г, е, Ф на г, л — 8, Ф + я соответственно. При таком преобразовании координате'"1* переходит ве'т(ф+я)== - (_1)*е'тф, a P\ml (cos8) в Pim,(-cos8) = (— l)'+lm|./>i«i (COs8) (см. (25.18), (25.19)).

Таким образом, Ylm (8, ф) - переходит "в (— \)lYlm(B, ф), т. е. умножается на (—1)*, независимо от значения т. Иначе говоря, операция инверсии приводит к умножению волновой функции на +1 при четном / и на —1 при нечетном.

Состояния с (—1)' = + 1 (/ — четное) называются четными, или обладающими положительной четностью, состояния с (—1)' = = —1 (/ — нечетные) нечетными', или обладающими отрицательной четностью.

Отметим, что понятие четности состояний является более общим, нежели четность состояния с заданным моментом количества Движения (см. § 107).

§ 26. Оператор энергии и функции Гамильтона

л.

а) Оператор кинетической энергии Т. Опыт показывает, что кинетическая энергия микрочастиц связана с импульсом таким же образом, как и для макроскопических тел *), т. е. кинетическая энергия Т частицы, имеющей массу |х и импульс р, равна

T=^-=^(Pi+Pl+PD- (26.1)

Этот факт заставляет написать оператор кинетической энергии в виде

Подставляя сюда значение операторов Р*, Ру, Рг из (24.1), находим

где V2 есть оператора Лапласа (v2 = + ~ + J^2j. В силу такого выбора оператора f его собственные значения Т равны (26.1), если под рх, рг, ру понимать собственные значения операторов

АЛЛ

импульса Рх, Ру, РгВ самом деле, уравнение для собственных функций г|? (л:, у, г)

оператора Т есть

7^ = 7^. (26.3)

Ему удовлетворяет функция, представляющая плоскую волну де Бройля

Ът(х, У, *)=1адЯ-в Я • (26-4)

Эта же функция является собственной функцией операторов импульса, так что кинетическая энергия Т измерима одновременно с импульсами рх, ру, рг (разумеется, операторы Т, Рх, Ру, Рг коммутируют между собой). Оператор Т может быть легко написан в любой криволинейной системе координат. Для этого достаточно написать оператор Лапласа V2 в соответствующей системе координат. В частности, в сферической системе координат оператор V2 имеет вид

1а/ д\ vi

*) Это обстоятельство в сущности уже использовано в основных соотношениях де Бройля (см. § 7).

где Уеф следует взять из (25.10).

Подставляя у2 из (26.5) в (26.2') и имея в виду (25.9), мы получим

А А М2

Г=Г' + ^' (26-6)

где Ш есть оператор квадрата момента импульса, a tr есть

Оператор Тг может рассматриваться как оператор кинетической энергии, соответствующей движению по радиусу-вектору, а оператор

как оператор кинетической энергии трансверсального двиMl

2\ir2

жения1).

б) Оператор полной энергии Н. Заметим сначала, что оператор

потенциальной энергии U, поскольку последняя есть функция только координат частицы л:, уу г, есть просто U (#, у, г). В классической механике полная энергия есть сумма потенциальной и кинетической энергии.

Подобным же образом и в квантовой механике оператор, изображающий полную энергию, есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергий, т. е.

A = f+0(x, у, г). (26.8)

Вид потенциальной энергии V (л\ у, г) так же, как и в классической механике, заимствуется из опыта и характеризует силовое поле, действующее на частицу.

Заметим, что в квантовой механике нельзя сказать, что полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия есть функция импульсов, а потенциальная — функция координат.

Как мы знаем, не существует таких состояний квантовых ансамблей, в которых частицы имели бы одновременно определенные импульсы и координаты.

Поэтому нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя порознь ее кинетическую и потенциальную энергии 2).

х) Формула (26.6) вполне отвечает представлению кинетической энергии в классической механике в виде

2(х 1 2^'

где рг — проекция импульса на радиус-вектор г.

-) Операторы Т и О, разумеется, не коммутируют, в чем легко убедиться,

пользуясь правилом перестановки (24.4). Отсюда следует, что Т и U не могут быть определены одновременно для одного и того же состояния ф.

Полная энергия должна измеряться непосредственно как одно целое. Возможные значения полной энергии частицы зависят от вида U (х, у, г), т. е. от рода частицы и от силового поля, в котором она движется. Нахождение этих значений составляет одну из важнейших задач квантовой механики и будет рассмотрено позже.

Полную энергию, выраженную через импульсы и координаты, в классической механике называют функцией Гамильтона. Оператор кинетической энергии Т у нас выражен через операторы имА

пульса (через (26.2)), поэтому оператор И мы будем также называть оператором функции Гамильтона или коротко — гамильтонианом.

§ 27. Гамильтониан

Понятие функции Гамильтона может быть распространено также и на неконсервативные системы. Поэтому оно является несколько более общим, чем понятие механической энергии.

В классической механике суще

страница 30
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
http://taxi-stolica.ru/nashi_avtomobili/avtobusi/avtobus_35_mest/
благодарное письмо от родителей директору
NX.VBXER.020
купить стул стремянка деревянный

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(22.09.2017)