химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

) = Afe'~\ (24.6)

где N — постоянное число. Для того чтобы это решение было всюду конечным (непрерывность и однозначность этого решения очевидны), достаточно, чтобы рх было любым вещественным числом. Поэтому спектр собственных значений рх получается непрерывным

— ooМножитель N можно выбрать так, чтобы функция \$>Рх была нормирована к 6-функции *). Для этого нужно положить N = (2лй)-1/*. Окончательно нормированные и ортогональные собственные функции оператора Рх имеют вид

S %'х W Ъх W dx = б (рх - рх), (24.9)

т. е. собственные функции оператора импульса i|>Pjc суть плоские

волны де Бройля. Это вполне естественно. То, что волна де Бройля есть состояние с определенным значением импульса частицы, было в сущности исходным пунктом квантовой механики (§§7, 12).

§ 25. Оператор момента импульса микрочастицы

Под моментом импульса частицы (моментом количества движения) в классической механике понимают векторное произведение радиуса-вектора г, проведенного от некоторой избранной точки (например, центра сил) к частице, на импульс

М = |гр]. (25.1)

*) См. дополнение III, формулу (20).

Значение этой величины в механике определяется тем, что она является интегралом движения в поле центральных сил. В квантовой механике момент импульса изображается оператором

М = [пР], (25.2)

где Р — векторный оператор импульса (24.Г), а г — радиус-вектор. Основанием к такому выбору оператора момента импульса является не только внешняя аналогия с классическим выражением

(25.1), но и то, что изображаемая оператором М величина является также интегралом движения в поле центральных сил (со-. § 33) и обладает свойствами, аналогичными свойствам момента импульса в классической механике.

Операторы проекций момента импульса на оси координат, согласно определению (25.2), имеют вид

А А

МХ = Р:У

Му - Pxz

Mz = РуХ

и, наконец, для оператора квадрата, момента импульса получаем следующее выражение

Найдем правила перестановки для компонент момента импульса. Эти правила понадобятся нам в дальнейшем, а сейчас они могут служить иллюстрацией приемов алгебры операторов. Вычислим коммутатор G = МуМг — MzMy. Подставим сюда вместо Му и Мг их-выражение (25.3). Вычислим МуМг:

МуМг = (Ргх - Pxz ) (Рху - Pyx) = РсхРху - PxzPxy - PzxPyX + PxzРух = уРгхРх - гуР\ - x*PzPy + zPyPxx

(так как у и Pz, Рху г, и Рх, Pyj х, и Pzy Ру перестановочны). Подобным же образом

МгМу = yPzPxX - zyPl - х*РгРу + гРуХРх.

Вычитая из первого равенства второе, найдем

МуМг - МгМ у = yPz(xPx - Рхх) + zPy (Рхх - хРх).

Пользуясь теперь (24.2), получаем

МуМг — МгМу = ih {уРг — Руг) = тмх.

Меняя циклически х, у, г, получим все три перестановки:

МуМг - МгМу = (Шх, (25.5)

МгМх - МхМг = ifllfoy, (25.5')

мхму - мумх=ткг. (25.5")

Таким образом, операторы компонент момента импульса некоммутативны.

Напротив, каждая из компонент момента импульса коммутирует с квадратом полного момента импульса:

МхМ2-М2Мх = 0, (25.6)

МУМ2 - №Му = 0, (25.6')

МгМ2 - M2MZ = 0. (25.6")

Доказательство предоставляем читателю.

Из этих правил перестановки следует, что проекции момента импульса Мх, Му, Мг не могут быть одновременно измерены. В состоянии, в котором одна из проекций имеет определенное значение» ((AAl^^O), другие две проекции не имеют определенного

значения ((АМУ)2 > 0, (АМг)2 > 0)Напротив, любая из проекций и квадрат полного момента могут быть измерены одновременно.

Определим теперь возможные значения проекции момента импульса на какое-либо произвольное направление и возможные значения абсолютной величины момента (точнее — значения М2). Для решения этой задачи удобно перейти к сферической системе координат, взяв некоторое избранное направление за ось OZ. В этой системе координат

x = rsin6cos(p, х = г sin б sin ср, г = г cos б, (25.7)

где 9 есть угол между осью OZ и радиусом-вектором г, а ср — угол, отсчитываемый в плоскости ху от оси ОХ.

Несколько громоздкое преобразование формул (25.3) из декартовой системы координат в сферическую приводит к следующему результату:

Мх = + Ш (sin ф ~ + ctgе cos ф ~j, (25.8)

My = — iH (cos Ф А - ctg 6 sin ф , (25.8')

М2 = - П2П, ф, (25.9)

г) Исключением является случай М2 = 0, из которого следует М% = М2у

где ve, Ф есть так называемый оператор Лапласа для сферы

?и=1^жНж)+^пг$- (25Л°)

Так как операторы (25.8) и (25.9) действуют только на углы б, ф, то волновую функцию достаточно рассматривать в зависимости лишь от этих углов, т. е.

Ч> = Ф(в, Ф). (25.11)

Уравнение для определения собственных значений оператора М2, согласно (20.2) (полагаем там L = M2, L — M2), будет

МЬр = М2Ц. (25.12)

л.

Вставляя сюда Л12 из (25.9) и обозначая мы получим уравнение (25.12) в виде

тЬЫ*ш9)+ш*&+>*-0- (25л4)

Это уравнение мы должны решить для всей области переменных 8,ф(0<; 8 я, 0 <; ф ^ 2Я), причем интересующие нас решения должны быть конечными, непрерывными и однозначными. Уравнение (25.14) хорошо известно. Это — уравнение для сферических функций. Подробные сведения об этих функциях и о решении уравнения (25.14) приведены в дополнении V. Здесь мы ограничимся лишь кратким резюме.

Оказывается, что решения этого уравнения, удовлетворяющие поставленным условиям, существуют не при всех значениях Я, а лишь при

Я«/(/+1), (25.15)

где / — целое положительное число.

При каждом таком значении / имеется 21 + 1 решений, которые представляют собой сферические функции. Мы обозначим их так:

Ylm (В, ф) = Y ^l + lmtlt/' Р'т' (25-16> где т — целое число, ограниченное следующими значениями:

т = 0, ±1, ±2,±1\ / = 0,1, 2, 3, ... (25.17)

(всего 21 + 1 значений). Знаком | т | обозначено абсолютное значение числа т. Функция P/m| (cos е) определяется так:

(ml — dlml

РГ1 причем Pt (I) есть так называемый полинем Лежандра

pi®=mwl®-iyi (25Л9)

Множитель, стоящий перед Р\т\ выбран так, чтобы ортогональные функции Yim были, кроме того, и нормированными к единице на поверхности сферы, т. е.

я 2я

\ \ Yfm'Yim sin 8 dB *р = ЬпЬт'т. (25.20)

о 0

(Координаты 0 и ф отмечают точки на поверхности сферы. Элемент поверхности сферы единичного радиуса равен sin 6 db dy.)

Используем теперь эти результаты для нашей задачи. Как уже было сказано, уравнение (25.14) имеет однозначные и конечные решения лишь при значениях Я = / (/ + 1). Поэтому собственные значения оператора квадрата момента импульса будут

Atf = fte/(/+l), / = 0, 1, 2, ..... (25.21)

а соответствующие собственные функции суть

Ьт (б, Ф) = Yim (б, Ф). т - 0, ± 1, ..., ± /. (25.22)

Собственному значению М) (25.21) принадлежат всего 21 -f- 1 собственных функций, отличающихся значением числа т. Таким образом, мы имеем дело со случаем вырождения (см. § 21). Сущность этого вырождения легко уяснить себе, если обратить внимание на то, что собственные функции оператора квадрата момента имА.

пульса Mr являются также собственными функциями оператора проекции момента импульса на ось OZMz. В

страница 29
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кинотеатр премиальный
лайтбоксы с клик профилем шахты
abgvf ned
моби деньги билайн

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(18.12.2017)