химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

«b k=l, 2, 3, /. (21.8)

Поэтому они не будут, вообще говоря, ортогональными. Однако можно доказать *), что эти функции могут быть всегда выбраны так, что они будут также ортогональны между собою:

= (21.9)

х) См. дополнение II.

Поэтому условие (21.6) можно считать всегда выполненным, если под щ и п в общем случае разуметь не один индекс, а всю совокупность индексов, характеризующих собственную функцию (например, вместо т — два индекса т и к', вместо п также два индекса п и k).

В том случае, когда оператор L имеет непрерывные собственные значения, доказанные теоремы непосредственно неприменимы. Однако и в этом случае собственные функции обладают свойствами, аналогичными свойствам функций дискретного спектра.

Собственные функции непрерывного спектра нельзя перенумеровать числами. В этом случае функции зависят от собственного значения L как от параметра, так что мы можем написать

*iM = *(*. L), (21.10)

А,

где через х обозначены переменные, в которых выражен оператор L.

Свойства ортогональности собственных функций непрерывного спектра проще всего могут быть выражены с помощью особого символа 6 (Ц — L), называемого функцией Дирака или б-ф у н к ц и е й. Эта функция обладает следующими свойствами:

если точка L' = L лежит вне интервала (а, Ь),

если точка V — L лежит внутри интервала (а, Ь),

ь

$/(//) б (Z/-I) dZ/ = 0,

а

' (21.11)

\f(L')8(L'-L) dL' = f(L),

а

rue / (U) — любая (достаточно гладкая) функция. Можно доказать *), что функции непрерывного спектра i|? (х, L) могут быть нормированы так, что

\У*(х, L')ty(x, L)dx--=b(U-L). (21.12)

Это равенство аналогично (21.6), ибо из (21.11) следует, что б (// — L) = 0 всюду, кроме точки V — L, где б обращается в бесконечность. Таким образом, символ б (Z/ — L) играет ту же роль, что и символ 6тп в случае дискретного спектра.

В математике доказывается, что система собственных функций операторов очень широкого класса является не только системой ортогональных функций, но системой полной.

Это означает, что любую функцию г|з (х)у определенную в той же области переменных и подчиненную тому же классу граничных условий, что и собственные функции tyn (х), можно представить в виде ряда по этим собственным функциям:

п

*) См. дополнение III.

Пользуясь ортогональностью функций i|?n, мы можем определить коэффициенты сп и таким образом найти ряд, представляющий ij? (х).

Для этого умножим (21.13) на tym (х) и проинтегрируем по всему пространству

$ фт (X) (X) dX = YiCn\№ (*) У* М dxп

В силу ортогональности и нормировки функций tyn интегралы, стоящие под знаком суммы, равны Ьтп (см. (21.6)); таким образом,

\ (X) ^ (X) dx^Yi С'$тп = Ст.

п

Отсюда, меняя обозначение т на п, получаем

cn = №(x)ip(x)dx. (21.14)

Таким образом, зная ф и систему ортогональных функций 1|эл, мы можем найти все амплитуды сп, встречающиеся в ряде (21.13). Частным случаем таких разложений по ортогональным функциям являются ряды Фурье.

В случае непрерывного спектра имеет место разложение в интеграл, подобный интегралу Фурье. Именно, в этом случае

ф (х) = J с (L) ф (х, L) dL. (21.15)

Для определения коэффициентов с (L) умножим (21.15) на (л:, L') и проинтегрируем по х:

\V(x, V) t|> (х) dx = \c (L) dL J ф* (х, V) * (л:, L) dx =

= Jc(L) dLb{U-L) = c(L').

Меняя здесь обозначение U. на L, получим окончательно

c(L) = $ih*(xt L) г|э (х) dx. (21.16)

%Найденные нами представления любой функции в виде разложений (21.113) и (21.15) по собственным функциям операторов приводят к очень важному выводу: любое состояние, изображаемое волновой функцией г|> (я), может быть представлено в виде суперпозиции (21.13) или (21.15) состояний, относящихся к определенным значениям какой-либо механической величины. В самом деле, состояния tyn или ф (х, L) по своему определению являются состояниями, в которых некоторая механическая величина L имеет определенное значение Ln (либо соответственно L). А выражения (21.13) и (21.15) представляют г|э (я) в виде суммы (либо интеграла) этих частных состояний.

А ГГ IX t5

§ 22. Общий метод вычисления вероятностей результатов измерения

Выше было показано, как находить среднее значение I любой

А

величины, изображаемой оператором L, и как находить возможные значения Llf L2, Ln такой величины. Теперь мы перейдем к вычислению вероятности того, что в некотором состоянии ij; (х) в результате произведенного измерения механической величины L будет обнаружено значение L = Ln. Основная идея вычисления основывается на принципе суперпозиции состояний. Пусть собственные функции оператора L будут г|эп (х). На основании свойства полноты и ортогональности этих функций мы можем представить волновую функцию -ф в виде суперпозиции

»(*) = 2<^Ы*). (22.1)

п

Для сопряженной функции получим

?*M = 2*1*W (22. Г)

т

(где т пробегает те же значения, что и п).

Подставляя эти выражения для г|? и -ф* в формулу для среднего значения величины L в состоянии -ф, мы найдем

I = J ф*Lyp dx = 2 Ц fifin\ Ф? ?ф„ dx. (22.2)

п т

Так как tyn есть собственная функция оператора L, то

L% = Ln$n' (22.3)

Пользуясь (22.3) и ортогональностью функций tym и 1|зл, мы получаем вместо (22.2)

п т п

т. е.

Z = 2>„|2L„. (22.4)

Далее, умножая (22.1) на (22. Г) и интегрируя по всему пространству, получаем

л m m п п

ИЛИ

2>„|я=1. (22.5)

п

§,221 ОБЩИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 99

С другой стороны, если через w (Ln) обозначить вероятность того, что случайная величина L имеет одно из возможных значений L„, то по общему определению среднего имеем

? = 2>(?Л)1Л (22.6)

п

при условии, что

5>(U=1. (22.7)

Сравнение (22.6) и (22.7) с (22.4) и (22.5) показывает *), что

w(Ln) = \cn\\ (22.8)

Вероятность найти значение механической величины L равным одному из ее возможных значений Ln равна квадрату модуля амплитуды собственного состояния %. Иными словами, эта вероятность определяется интенсивностью |с„|2, с которой собственное состояние урп представлено в состоянии ф.

Для вычисления вероятностей того или иного значения величины, имеющей непрерывный спектр, поступаем совершенно аналогично тому, как было сделано в случае дискретного спектра. Разложим рассматриваемое состояние ф по собственным функциям

ф (xt L) оператора L:

гь (х) = J с (L) ф (*, L) dL, (22.9)

при этом ф (х, L) нормировано к б-функции, а ф — к единице. Вычислим опять среднее значение L в состоянии ф:

1 = Jф* Ь|>dx = J J с* (V)ф* (х, V) dL'L\c (L)ф (*, L) dLdxy

и так как ф (х, L) есть собственная функция, то

hty(x, L) = b$(x, L);

подставляя это в предыдущее выражение для L и меняя порядок интегрирования, получим

L = J \ с* (V) с (L) LdV $ ф* (*, V) ф (*, L) dx

и в силу (21.12)

L = J J с* (V) с (L) LdV dL б (V - L).

На основании свойств б-функции отсюда следует, что

*) Для вполне строгого сравнения (22.6) и (22.4) следует рассмотреть такой оператор, который есть функция L и равен 1 при L = Ln и 0, если L ф Ln. Среднее от такого оператора равно | сп |2 пб (22.4) и равно w(Ln)

страница 27
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
плазменные телевизоры аренда
Компания Ренессанс: лестницы для дачи и дома - цена ниже, качество выше!
офисное кресло престиж
Удобно приобрести в КНС Нева игровой монитор lg - в кредит не выходя из дома в Санкт-Петербруге, Пскове, Мурманске и других городах северо-запада России!

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)