химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

некоторые естественные требования к волновым функциям, которые оказываются эквивалентными краевым условиям. Требования сохранения числа частиц сводятся к тому, что вероятность найти частицу где-либо в пространстве не должна зависеть от времени, т. е.

-jf^*^dv = 09 (20.4)

где интеграл распространен по всей области изменения аргументов -ф-функции, так что он равен вероятности того, что частица обязательно где-то находится. Суть дела заключается в том, что условие (20.4) может быть выполнено только тогда, когда волновые функции имеют достаточно корректное поведение, а именно: 1) если они конечны во всей области изменения переменных, за исключением, быть может, некоторых (особых) точек, где они могут обращаться в бесконечность, не слишком сильно2), 2) если они имеют достаточное число непрерывных производных (также могущих в отдельных точках не слишком сильно стремиться к бесконечности), 3) если они однозначны. Более жестко, но достаточно для целей нерелятивистской квантовой механики эти требования могут быть сформулированы в виде трех требований: 1) конечности 2) непрерывности и 3) однозначности волновой функции во всей области изменения ее аргументов.

х) См. дополнение VIII.

2) Если волновая функция не исчезает в бесконечности (например, плоская волна де Бройля), то вместо я|) для сходимости интеграла в (20.4) следует брать так называемые «собственные дифференциалы» (см. дополнение III (12) и (12'), где изложено правило нормировки волновых функций, не исчезающих в бесконечности).

Эти весьма скромные требования, предъявляемые к решениям уравнения (20.2), ведут к тому, что во многих случаях решения, обладающие указанными свойствами (1, 2, 3), существуют не при всех значениях L, а лишь при некоторых, избранных L =

L2, ?з>---> т. е. мы приходим к задаче о нахождении собственных функций и собственных значений уравнения (20.2) на основе естественных требований, вытекающих из условия сохранения числа частиц (20.4).

Вместо «собственные функции уравнения» и «собственные значения параметра уравнения» мы будем обычно говорить о советА

венных функциях и собственных значениях оператора L, которым определяется вид уравнения (20.2).

Мы будем считать, что никаких значений величины L нельзя наблюдать на опыте, кроме тех, которые являются собственными

А

значениями оператора L. Иными словами, в квантовой механике

А

постулируется: совокупность собственных значений оператора L: Lv L2, L3i..., L„,..., тождественна с совокупностью всех возможных результатов измерения механической величины L, изображаемой

оператором L. Это и есть как раз тот постулат, посредством которого устанавливается связь между изображением величин операторами и опытом: математика позволяет предсказать набор еббетвенных значений, а опыт позволяет проверить, таков ли он, каким его предсказывает теория.

Соответствующие собственным значениям Llt L2,L„,... состояния определяются собственными функциями tyly ф2,..., ^JW-. В каждом из этих состояний (AL)2 = 0 и величина L имеет только одно из значений Llt L2,..., L„,'..., соответственно. Совокупность возможных значений некоторой величины мы будем называть спектром этой величины.

Спектр может быть дискретным, когда возможны только отдельные значения Ll9 L2,..., Ln,..., либо состоящим из отдельных полос, так что возможные значения L лежат в интервалах: Lx ^ L ^ L2, L\ ^ L ^ L4, вообще Ln ^ L < L„+1, либо, наконец, непрерывным, когда все значения L оказываются возможными. Когда возможные значения величины -являются дискретными, то говорят, что величина имеет квантованные значения.

В полуклассической теории Бора отсутствовали методы, позволяющие в общем виде решить вопрос о возможных значениях той или иной величины, в частности, найти квантовые значения этой величины. Современная квантовая механика полностью решает этот вопрос, сводя его к чисто математической задаче нахождения собственных функций и собственных значений операторов, изображающих механические величины.

Из самосопряженности оператора L следует, что наблюдаемые значения L будут вещественны:

Ln = L% или L = L*.

(20.5)

В самом деле, собственное значение Ln (или L) можно рассматривать как среднее значение величины L в собственном состоянии % (или соответственно). Но среднее значение величины, изображаемой самосопряженным оператором, вещественно (см. (19.2)).

Этим полностью разъясняется значение самосопряженности операторов: самосопряженные операторы изображают вещественные величины.

§ 21. Основные свойства собственных функций

Обратимся к рассмотрению важнейших свойств собственных функций самосопряженных операторов^ Сначала, ограничимся случаем дискретного спектра. Пусть мы имеем какие-либо две функции щ и и2. Эти функции будут называться ортогональными,- если

\utusdx = 0, (21.1)

где интеграл взят по всей области изменения переменных. Для простоты мы обозначаем все переменные одной буквой х.

Теорема, которую мы докажем, заключается в том, что собственные функции и tym самосопряженного оператора L, принадлежащие-различным собственным значениям Ln и Lmy ортогональны между собой, т. е.

lyl№ndx = Q. (21.2)

В силу предположения о том, что ^п и %t являются собственными функциями, мы можем написать

Ltym = M>m> = Lr$n. (21.3)

Из первого уравнения полупим комплексно сопряженное:

напомним, что согласно (20.5) Lm = L%. Умножив второе из уравнений (21.3) на , а (21.3') на %, вычтем второе из первого. Тогда получится

4>т L% - = (Ln - Lm) ^m^nИнтегрируя это равенство rto всей области изменения переменных, будем иметь

J 1ft 1арп ctx~ J ^ L*^ dx = (Ln - Lm) \ о|ЗДл dx.

В силу самосопряженности L левая часть равна нулю (следует в равенстве (18.7), определяющем самосопряженность, положить tym = Uit tyn = и2)< следовательно,

(Ln-Lm)\^ndx = Q. (21.4)

Так как Ln Ф Lmi то отсюда следует справедливость (21.2).

Функции дискретного спектра всегда интегрируются квадратично, поэтому мы можем нормировать их к единице:

1. (21-5)

Это последнее равенство можно объединить с равенством (21.2) в одно:

$ ?mlM* = бит. (21-6)

где символ бтп определяется следующим образом:

6тп ^= 1, если п~т,

Отп = 0» если пфт.

Системы функций, удовлетворяющие (21.6), мы будем называть ортогональными и нормированными системами функций.

В значительном большинстве случаев, встречающихся в кванл.

товой механике, собственному значению Ln оператора L принадлежит не одна функция г|)я, а несколько собственных функций:

tynu уРп2, •••» ^ЛА» Такие случаи называются вырожденными. Если значению L = Ln принадлежит / собственных функций (/> 1), то говорят о наличии /-кратного вырождения. Физический смысл «вырождения» заключается в том, что какое-нибудь определенное значение величины L — Ln может быть реализовано в разных состояниях.

Доказанная нами теорема об ортогональности собственных функций относится лишь к функциям, принадлежащим к разным собственным значениям. В случае вырождения функции я|э„л (k = = 1,2,...., /) относятся к одному и тому же собственному значению Ln:

Lfe = U

страница 26
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курсы монтажников кондиционеров в москве адреса
женовач театр
матрас 60x200
навка руслан и людмила шоу

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(25.11.2017)