химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ее линейный самосопряА

женный оператор L.

Символически это запишем так:

L->L

Вопрос о том, какую именно физическую величину изображает тот или иной оператор, решается свойствами этой величины и способами ее наблюдения. В тех случаях, когда изображаемая оператором L квантовая величина обладает свойствами, аналогичными

СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА И КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

89

свойствам некоторой классической величины L, для обеих величин употребляют одно и то же название.

Например, если имеется классическая величина L — функция импульсов и координат L = L(px, ру, рг, х, у, г), то линейный и

А

самосопряженный оператор L, построенный по правилам предыА А .А

дущего параграфа из операторов проекций импульса Рх, Ру, Pz и операторов координат х, у, г, будет равен

L = L(PX, Ру, Рг, х, у, г).

Самосопряженный оператор L будет изображать квантовую величину со свойствами, аналогичными классической величине L (рх, ру, Pz, х, у, г) х).

Разумеется, не все линейные и самосопряженные операторы,

AAA

образованные из Рх, Ру, Pz и х, у, г, будут изображать величины, имеющие простой физический смысл и подчиняющиеся простым законам. Так же обстоит дело и в классической теории. Так, величина ~ имеет смысл кинетической энергии и подчиняется закону

сохранения (в отсутствие внешних сил), величина же рх3 не имеет какого-либо общего правила поведения и поэтому не играет никакой роли в механике.

Связь между операторами и измеряемыми величинами устанавливается в помощью формулы для среднего значения величины L в ансамбле, описываемом волновой функцией я|з._Именно, в квантовой механике принимают, что среднее значение L величины L, изоА

Сражаемой линейным и самосопряженным оператором L в чистом ансамбле, описываемом функцией ч|э, определяется формулой

I = J ife* Lip dx, (19.1)

гле под dx подразумевается элемент объема в пространстве независимых переменных и интеграл взят по всей области изменения этих переменных. Ясно, что наши прежние определения (18.1) и (18.2) являются частным случаем (19.1). Чтобы получить (18.1) из (19.1),

А

следует положить L = F(x, у, z), а под dx считать dx, dy, dz. Чтобы получить (18.2), следует положить

Ј=f (-'*-&-• -iui' -ш~дг)Па основании свойства самосопряженности оператора L, мы можем написать (19.1) в эквивалентной форме

*) Поскольку волновая функция рассматривается как функция координат

AAA

часгнцы л-, у, z, постольку действие «операторов» х, у, z сводится просто к умножению функции на х, у, г, действие оператора /" (х, у, z) — к умножению на (*, I/, z).

L^^L^dx (19.Г)

(ДЛЯ ЭТОГО полагаем в (18.7) u'f = а|?*, и., — г|?). Из сравнения (19.1) и (19.Г) следует, что

L = l*t (19.2)

т. е. среднее значение величины, изображаемой самосопряженным оператором, вещественно.

Мы получим более детальные сведения о величине L, если помимо ее среднего значения L найдем еще и среднее квадратичное

отклонение (AL)2, указывающее, насколько в среднем отклоняются результаты отдельных измерений в ансамбле от их среднего

значения. Вычислим (AL)2. Для этого следует построить оператор,

изображающий величину (AL)2. Отклонение от среднего определяется как AL = L—L. Стало быть, оператор, изображающий AL, имеет вид

AL^L-L. (19.3)

Так как квадрат отклонения (AL)2 — (L — I)2, то оператор для (AL)2 будет следующий

(AL)2= (L-Z)2. (19.4)

Пользуясь общим определением среднего значения (19.1), мы найдем

jALf==\^\AL)2^dx. (19.5)

Таким образом, зная оператор L, мы можем вычислить и (AL)2. Величина (AL)2 должна быть неотрицательной. Это легко докаА.

зать, пользуясь самосопряженностью оператора L. Так как L есть число, то оператор AL также самосопряженный. Поэтому, пользуясь (18.7) и полагая в (19.5) я|?* = u'f, (AL\|>) = w2, находим

(Alp = J (AL-ф) (ALV) dx = \\ А?ф } dx, (19.6)

так как А/д|?|2^0, то из (19.6) следует, что

(ALp^O, (19.7)

т. е. (как и должно быть) среднее квадратичное отклонение всегда положительно или равно нулю.

§ 20. Собственные значения и собственные функции операторов и их физический смысл. «Квантование»

Формулы предыдущего параграфа дают выражение для среднего

значения L и среднего квадратичного -отклонения (AL)*2. Эти формулы ничего не говорят о том, каковы будут значения величины L в отдельных измерениях.

Чтобы найти возможные значения величины L, обратимся к таким состояниям г|?/., в которых интересующая нас величина имеет только одно значение L. В таких состояниях среднее квадратичное отклонение (AL)2 = 0. Стало быть, для этих состояний на основании (19.6) имеем

\\AL^L\2dx = 0. (20.1)

Так как под интегралом стоит существенно положительная величина, то из (20.1) следует

| аЦь |2 = 0.

Модуль комплексного числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Поэтому мы получаем

Л1% = 0

А.

или, имея в виду определение оператора AL (19.3) и то, что в рассматриваемом состоянии L — L, находим окончательно

LyL = b$L. (20.2)

Так как L есть оператор, то найденное нами равенство является линейным уравнением для нахождения волновой функции \\>1. того состояния, в котором величина, представляемая оператором L, имеет единственное значение L. В большинстве случаев

оператор L будет дифференциальным оператором и уравнение (20.2) — линейным однородным дифференциальным уравнением.

Известно, что решение дифференциального уравнения определено единственным образом только в том случае, когда заданы краевые условия J).

С другой стороны, при заданных краевых условиях линейное

дифференциальное уравнение Lty = Lij; имеет нетривиальное (т. е. отличное от нуля) решение, вообще говоря, не при всех значениях параметра L, а только при некоторых определенных: L — Lly L2, L3,..., Lni... Соответствующие решения г^, i|)2, г|э3,..., о|зя,... называются собственными функциями, а значения параметра Lu L2, L3,..., L/i,..., при которых существуют решения, называют собственными (иногда говорят характеристическими) значениями параметра уравнения (20.2).

Наиболее общеизвестный пример такой задачи представляет задача о колебаниях закрепленной на концах струны. Уравнение движения в этом случае имеет вид

1) Речь идет об уравнениях, не содержащих производных по времени, гак что задание начальных данных отпадает.

?|? + А«и = 0, (20.3)

A

так что L~—a L = k2. Область, в которой ищется решение,

есть О^х^/, где / — длина струны. Краевые условия будут и = 0 при х = 0 и х = 1. Собственные функции для такой задачи

равны ип (х) = sin -у-, а собственные значения Ln = kn= ? •

(я = 1, 2, 3,—)..

В квантовой механике волновая функция всегда определяется во всей области изменения тех переменных, которые являются ее аргументами (например, ty(x, у, г) определено в области: — оо < ~г оо, — со < г/ <С + °о, — оо<г<+ооит. п.). Поэтому в квантовой механике мы не можем сформулировать краевые условия для волновой 'функции столь непосредственным образом, как они формулируются в классических задачах о колебании тел.

Однако можно показать *), что из требования сохранения полного числа частиц вытекают

страница 25
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
бухгалтерский шкаф кб-033т
установка gps трекера
наклейки номера
Компания Ренессанс купить лестница винтовая - качественно и быстро!

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(19.02.2017)