химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

г)г|э(дг, у, z)dxdydz (18.1)

и для* среднего значения функции импульсов формулу (13.6)

F(px, рУ1 рг) =

(х, у, г)F[~ifi3-, — itt&j, — itl 0zj\p(x, у, г) dxdy dz.

(18.2)

Эти формулы принимают совершенно одинаковый вид, если проекции импульса рх, ру, pz представить операторами

и соответственно этому обозначению написать (18.2) в виде

?(Рх, Ру, Рг) =

= ^*(х, у, z)F(Px, Ру, Р;)Ц(х, у, z)dxdydz. (18.4)

Таким образом мы приходим к изображению функции от импульса

F(Px, ру, Pz) оператором F(PXt Ру, Рг).

Этот результат подсказывает, что и другие более сложные механические величины L(pXy руу р2, х, у, г), зависящие как от координат, так и от импульсов, также должны изображаться операторами. И в самом деле, оказывается, что все взаимоотношения между механическими величинами в квантовой области могут быть выражены на языке операторов определенного класса. В этом заключается фундаментальное значение введения операторов в квантовую механику.

Чтобы выделить класс операторов, встречающихся в квантовой механике, обратимся сначала к общему определению оператора.

Независимо от конкретного вида под оператором L будем подразумевать символ, показывающий, каким способом каждой из рассматриваемого класса функций и(х) сопоставляется другая функА

ция v(x). Это символически записывается в виде умножения и на L:

Lu(x) = v(x). (18.5)

В этом равенстве под L можно подразумевать, например, умно-жение на x(L — x), дифференцирование по х f L = д~), извлечение

корня (1 = 1/) и т. п.

Из всего разнообразия мыслимых операторов для изображения механических величин в квантовой области употребляется только один определенный класс операторов, так называемые линейные самосопряженные (иначе — эрмитовские) операторы.

Оператор L называют линейным, если он обладает следующим свойством:

Л. А А.

L (схих-\-с2и2)—сгЬих-\-c2Lu2, (18.6)

где их и и2 — две произвольные функции, a q и с2 — произвольные постоянные. Ясно, что корень не является линейным оператором;

в то время как ^ есть оператор линейный.

Это ограничение вытекает из принципа суперпозиции состояний. Свойство линейности оператора, выраженное в (18.6), означает, что применение оператора к суперпозиции двух функций их и и2 равно суперпозиции результатов применения этого же oneратора к каждой из функций порознь (Цс^ + с2и2) = + c2v2,

где vt — Lult v2 = Lu2), т. е. мы требуем, чтобы применение операторов не нарушало принципа суперпозиции.

Линейный оператор L называют самосопряженным (эрмитовским), если имеет место равенство

J uf (х) Lu2 (х) dx = ^u2 (х) L*u't (х) dx, (18.7)

где интеграл взят по всей области изменения переменной .v, а и* и и2 суть две произвольные функции весьма широкого класса *). Если переменных много, то dx заменяется uadxdydz...

Значение условия самосопряженности, как мы увидим позднее, заключается в том, что только подчиняющиеся этому условию операторы могут изображать вещественные (не мнимые) физичес-ские величины.

Поясним свойство (18.7) на примере оператора импульса д

Рх — — ih ~т-. Имеем

л дх

-f- СО +CO

^ и* Рхи, du = — ih ^ и* dx =

— со —со

-f- со -f- со

= [—ifiu*u2]*™-T-ih ^ u2-^-dx--== ^ u2P%u*dx

?со — со

(так как и* (± со) = и2 (=h со) = 0). Таким образом, Рх есть

д

линейный и самосопряженный оператор. Видно, что оператор ^ линейный, но не самосопряженный; в самом деле,

-|- со -\- со -j- оо

^ uf~*-dx = — § u2^dx^+ J u2df^dx. (18.8)

• оо — со — оо

Имея в распоряжении некоторые операторы, мы можем построить из них более сложные. Способы построения из простых операторов более сложных вытекают из определения самих операторов и могут быть сформулированы в виде несложных алгебраических правил.

Рассмотрим два линейных и самосопряженных оператора А и В.

Будем называть суммой этих двух операторов такой оператор G, что

6|)= Лг|) + в\|). (18.9)

Символически запишем это в виде

С = А + В. (18.10)

Например, если Л==/~, а В = х, то из (18.9) следует

д

*) Они должны быть интегрируемы и иметь производные, равные нулю на границах области интегрирования.

С = 1'дх+ХЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

87

Несколько сложнее определится умножение. Под произведением двух операторов А и В будем понимать такой оператор С, что

Су = А(Ву), (18.11)

л

т. е. сначала следует подействовать на г|? оператором Б, а потом на этот результат подействовать оператором А. Если тот же окончательный результат может быть достигнут оператором С, то С и будет произведением А и В. Символически это запишем так:

С = Аё. (18.12)

Пример: А = I -4-, В = х, тогда

отсюда следует, что

д I д \ C = i + ix-s- = i[l+x

дх \ 1 дх J'

Существенно, что произведение операторов зависит от поряОка множителей. В приведенном примере имеем

C^ = B(A^) = ixfx> т.е. Й' = **4А А.

Поэтому, если имеются два оператора А и В7 то кроме произ-ведения С можно образовать еще другое произведение:

С'=ВА. (18.12')

Установленные правила позволяют производить с операторами сложение, вычитание и умножение так же, как это делается в обычной алгебре, за исключением одного пункта: вообще говоря, нельзя менять порядка сомножителей. Например,

Л, /А А\/Л Л. \ Л АЛ Л А Л

С = (Л-В) (Л+ 5)= А2-ВА+АВ-В2,

л л

но не А2 —В2.

Такая алгебра, в которой нельзя менять множителей, называется алгеброй некоммутативных величин, а сами величины некоммутативными (неперестановочными) или некоммутирующими.

А А

Если оба произведения С и С равны

АВ-ВА = 0, (18.13)

А Л

то операторы Л и В называются коммутирующими (перестановочными). В противном случае их называют н е к о м

мутирующими. Оператор F — AB — BA называется коммуА А ^

татором операторов А и В .

При умножении линейных самосопряженных операторов следует иметь в виду, что произведение их не будет, вообще говоря, также самосопряженным оператором. Именно,

Л Л I / Л Л. А А \ 1 / А А А А \

AB = Y(AB + BA)+ й-(АВ-ВА). (18.14)

Пользуясь самосопряженностью каждого из операторов А и В, с помощью (18.7) можно доказать, что оператор

А I /АЛ лАч

F= g (АВ + ВА ) (18.15)

будет самосопряженным, а оператор

6= ~{Ав-вА) (18.16)

не будет обладать этим свойством, кроме случая коммутирующих

операторов, когда G = 0. Так как всякий оператор коммутирует сам с собой, то из сказанного следует, что любая (целая и положительная) степень линейного самосопряженного оператора А:

А* = А-А-...-А, (18.17)

п

будет оператором такого же рода.

Пользуясь изложенными правилами, мы можем, исходя из

Л Л А

известных нам операторов проекций импульса РХ1 Ру, Pz (18.3) и операторов координат частицы х, г/, г построить более сложные

А

линейные и самосопряженные операторы L.

§ 19. Общая формула для среднего значения величины и для среднего квадратичного отклонения

Основная идея применения операторов в квантовой механике заключается в том, что каждой механической величине L о квантовой механике сопоставляется изобраоюающий

страница 24
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
http://www.kinash.ru/etrade/goods/4161/city/Novosibirsk.html
насос grundfos cr 32-1
удаление вмятин с частичной покраской самара
http://www.prokatmedia.ru/ekran.html

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(22.09.2017)