химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

где е —некоторая величина, определяющая это изменение. Функциональная производная ф (/) по Q (?) вычисляется следующим образом:

+00

6Q (О

-оо

б*(0 - lim - [ Ж (t - Г) [Q (f) + 6Q (Г) - Q (/')] df. (3)

Подставляя (2) в (3), получим

^% = W(t-f). (4)

Для выполнения принципа причинности, необходимо, чтобы я|э(/) зависела от силы источника Q(tr) только в моменты времени, предшествующие /. Иными словами, должно иметь место условие

откуда следует, что $С (t — t') должно равняться нулю при t'>t. Поэтому

со

\p(t) =\ Ж (t')Q(t-t')df. (6)

о

В частности, для источника Q (/), сосредоточенного в точке / = 0, получим

*«Н о tНайдем компоненту Фурье от г|з (/):

+оо со

? (©)= 5 (t) dt — jj еш&? (t) dt. (8)

—со О

Отсюда видно, что если рассматривать со как комплексную переменную, то интеграл (8) сходится при Imco;>0, и, следовательно,

ур (со) есть аналитическая функция в верхней полуплоскости. Тем самым и доказывается связь между причинностью и аналитическими свойствами рассеянной волны. Эти же свойства можно продемонстрировать, используя запаздывающую функцию Грина уравнения Шредингера (см. дополнение XIII).

XIII. Функция Грина свободного уравнения Шредингера

Уравнение Шредингера с потенциалом V (х, t):

ihf +-^=V4, (1)

может быть записано в форме интегрального уравнения. Для этой цели рассмотрим вначале функцию Грина ^(х, /) свободного уравнения Шредингера, которая определяется следующим образом:

+Жу2К<х' 0 = ew (*Ж0. (2)

Чтобы однозначно задать решение этого неоднородного уравнения, наложим дополнительные требования на искомую функцию g(x, t). Потребуем, чтобы

?(х, t) = Q при /<0. (3)

Такая функция Грина называется запаздывающей.

С помощью g(x, t) решение полного уравнения Шредингера (I) можно представить в следующем виде:

Ч> (х, t) = % (х, t) + J g (x - x', t - Г) V (x', Г) ab (x, f) dx' dt', (4)

где г|?0 (x, t) — решение свободного уравнения Шредингера (уравнение (1) с V = 0). Физический смысл t|)0(x, t) легко понять, если рассмотреть потенциал V (х, I), который «включается» только после некоторого фиксированного момента времени t = t0. Тогда из уравнения (4) следует, что при t<.t0 г|э(х, /)=i|>0(x, 0» т. е. \|;0(х, t) — это та волновая функция, которой обладала система до включения взаимодействия.

Интегрирование по dt' в формуле (4) ведется фактически только при t'<.t из-за свойства (3) запаздывающей функции Грина. Это как раз и является отражением принципа причинности в квантовой механике: значение -волновой функции tj? (х, t) в данный момент времени t определяется воздействиями на кван-товомеханическую систему только в предыдущие моменты времени t'С математической точки зрения выражение (4) представляет собой интегральное уравнение на волновую функцию г|;(х, /), значение которой равно %(ху t) до включения взаимодействия.

XIII. ФУНКЦИЯ ГРИНА СВОБОДНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

659

Найдем теперь явное выражение для функции Грина g(x, t). Представим ее в виде интеграла Фурье

?(х' *)= 42V \ 8 ((0' k) е~1 {Ш"кх) d(ddk-Далее учтем, что

6<3> (х) б (/) - -~ ^ е~1 w - ы da dk.

Подставляя эти выражения в (2) и сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получим

1

/да •

2m —ia>t + IKX

G(TO, к)

йсо

(5)

Поэтому

d(d dk.

СО —

Обратимся сначала к интегрированию по со. Подынтегральное выражение в (5) содержит полюс при а>==со0==-|2-. Чтобы форt

.-/Л

Т \

мула (5) имела смысл, необходимо определить путь обхода этого полюса в комплексной плоскости со. Выберем этот путь таким образом, чтобы g(x, t) удовлетворяла условию (3).

Рис. 103. Комплексная плоскость переменной со и контур интегрирования при t > 0.

Радиус полукруга R

СО

оо.

Легко проверить, что контур, показанный на рис. 103, как раз приводит к нужному результату. Действительно, если ^<0, то интеграл по da в (5) можно вычислить с помощью теоремы о вычетах, дополняя контур С на рис. 103 полукругом бесконечного большого радиуса в верхней полуплоскости. Такое дополнение можно сделать благодаря множителю е~ш в подынтегральном выражении в (5). При этом полюс со = со0 остается вне контура и вычет равен нулю. Таким образом, g(x, t) — 0 при /<0.

Если же t>0, то, обходя полюс со=со0 сверху и замыкая контур бесконечным полукругом в н-ижней полуплоскости, мы

со». Таким

(6)

сведем интеграл в (5) по со к вычету в полюсе со образом, получим

g(x, 0=-/Г ) е 2т dk.

Заметим, что если бы мы обходили полюс (а = щ снизу, то мы получили бы опережающую функцию Грина, соответствующую обращению времени t-^ — t. Эта последняя функция равна нулю при /;>0. Опережающая функция Грина также отражает причинность, но соответствует другой постановке начальных условий: по заданному значению волновой функции в будущем (/=-f-oo) определить ее в предшествующие моменты времени. Такая необычная постановка вопроса не встречается в практических приложениях квантовой механики.

XIV. Расчет взаимодействия микрочастицы с макроскопическим телом

В качестве макроскопического тела рассмотрим шарик с массой М. Координата центра тяжести шарика пусть будет Q. Его потенциальная энергия U (Q) изображена на рис. 102. В вершине усеченного конуса имеется небольшое углубление, обеспечивающее относительную устойчивость шарика. Достаточно сообщить шарику незначительную (микроскопическую) энергию АЕ и шарик покатится по плоскости и далее под «откос». Координату микрочастицы обозначим через х, ее массу—-через р. Частицу считаем свободной. Для простоты предполагаем, что взаимодействие микрочастицы и шарика осуществляется только в центре шарика. В этом случае энергию взаимодействия можно записать в виде

(1)

где g —некоторая константа взаимодействия.

Преследуя в рассматриваемом примере максимальную простоту, мы приписываем шарику лишь одну степень свободы. При таком упрощении необязательно пользоваться матрицей плотности. Более того, будет удобнее пользоваться волновыми функциями. Положим, что в начальный момент времени / = 0 микрочастица описывается стоячей волной:

(2)

где

XIV. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ С МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ТЕЛОЛ'. 661

Здесь & —импульс частицы (постоянную Планка в дальнейшем положим = 1). Сопряженную волновую функцию микрочастицы в конечном состоянии после рассеяния на шарике обозначим через

„-ik'x

Волновая функция шарика в начальный момент, когда шарик находился еще в ямке, приближенно описывается функцией нижнего состояния осциллятора

Ы<3)=ТТЦ<Г^> (4)

у па1

где а —амплитуда колебаний шарика в ямке (см. рис. 102). После рассеяния микрочастицы на шарике последний приобретает импульс р\ и так как его масса велика, то его волновая функция ijy (Q) может быть описана с помощью функции действия S (р\ Q) так, что

rP>(Q) = UPJSIP''Q). (5)

Причем, пока шарик еще остается на плоской вершине, 5 (р\ Q) = = p'Q. Nр> есть нормирующий множитель. Далее за пределами площадки шарик будет скатываться вниз, ускоряться, и импульс р станет растущей функцией Q. Вместе с тем будет уменьшаться

дл

страница 163
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
814835 b21
елка в олимпийском 2018 официальный сайт
домашний кинотеатр под ключ цена
моноколесо novelty electronics w4 купить

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(23.11.2017)