химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

оэффициентов ak:

(k + 2)(k+\)ak,2- 2kak + (X - 1) а, = 0, (9)

откуда

fl*f8== (* + 2)(*+1) (Ш)

Если ряд (8) оборвется на члене номера я, то У будет многочленом я-й степени. Тогда решение (6) будет конечным, непрерывным и однозначным во всей области —оо-к = 2п+\9 я = 0, 1, 2, ... (11)

Это и есть формула (47.6), приведенная в тексте.

Многочлен и (Е) с коэффициентами, определяемыми формулой (10) для К = 2п-\-1, носит название многочлена Чебышева — Э р м и т а.

Его обозначают обычно через Нп (I), и он удовлетворяет уравнению (7) при Я = 2/г + 1, т. е, уравнению

Н'п~21Н'п + 2пНп = 0. (12)

Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет многочлен

Поэтому Нп только множителем отличается от этого последнего многочлена. Следуя обычному определению, мы положим

Нп(1) = (-\Ге^^(е^). (13)

(Нетрудно убедиться, что многочлен (13) имеет коэффициенты, удовлетворяющие рекуррентной формуле (10) при К = 2/2+1.) Приведенный в тексте (47.8) многочлен Нп отличается от (13)

множителем Y2nn\ У л, который выбран так, что функция tyn (?) нормирована к 1. Именно, в тексте мы даем нормированный полином Чебышева —• Эрмита

У 2"л! Vn dl'1

Собственное решение уравнения (1), принадлежащее собственному значению Я — 2n + 1, может быть теперь записано в виде

где под Нп (|) будем понимать нормированный полином Чебышева—Эрмита (14).

Функции tyn (I) ввиду самосопряженности оператора, определяющего уравнение (1), должны быть ортогональными. В этом легко убеждаемся непосредственно. В самом деле, для двух функций tyn и %' имеем

+ 1 —Е»)*« = 0,

Умножая первое уравнение на ijv, а второе на г|?я, вычитая и интегрируя по ?, получаем

— ОО — ОО

Левая часть есть

i d FIB * IB \ dP - FIB , -^L - OB *M - 0

— 00

т. e.

00

-{- CO

\ ФИ>Л dЈ = o.

— ОО

IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 653

С помощью интегрирования по частям можно также убедиться, что

-F- ОО — ОО

следовательно,

-F- ОО

$ *MvdЈ = — ОО

т. е. функции tyn образуют систему ортогональных и нормированных функций. Любая функция г|з(?) (с несущественными для нас ограничениями) может быть представлена в виде ряда

ОО

Ф (6) = 2 с»*« (I). (17)

где

-F- ОО — ОО

Обратимся теперь к свойствам ненормированных многочленов

dn

4п рг rl\

Чебышева — Эрмита (13). По формуле Коши производная -Щпе~1г может быть представлена в виде интеграла по замкнутому контуру

dln " 2л/ \ (z-Ј)'I+1 dz' ^

причем контур обходит точку g. Поэтому из (13) имеем

e-VH.M-i-ir^l-t^dz.

Полагая z = l — t, получим

(контур обходит вокруг ^ = 0). Из последней формулы следует, что

ОО

1

^'2+2/|= 2 Ж*1*®*"' (21)

/7 = 0

т. е. ег*'+2<Ь есть производящая функция для Я„(|).

Производящая функция (21) позволяет установить важное рекуррентное соотношение между полиномами Чебышева— Эрмита. Для этого дифференцируем (21) по t:

СО

П = 1

е- п+г* (2g _ г/) = ^ -^Т)Г Нп (I) Р-\

т. е.

со оо оо

2 §- я. й) <• - 21н" ®'Й+1 = 2я- © (22)

гг — 0 п — 0 п — \

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях t% получаем

2gЯ,г (|) = Я„+1 © + 2пНа.г (g). (23)

Умножая эту формулу на g и применяя еще раз (23), получим

2|2ЯЙ ® = (2л + 1) Я„ (g) + у Яя+2 (g) + 2/г (/г - 1) Нп 2 (g). (24)

Умножим эти равенства на е ^ и заменим в них ненормированные полиномы Эрмита на нормированные (для чего в (23) и в (24)

каждый полином Нт умножаем и делим на У2тт\У я). После сокращения на общие множители получим рекуррентные соотношения для волновых функций (15). Именно,

Отсюда получаем интеграл, встречающийся в §§ 47, 48. Умножая (25) на ^(g), интегрируя по g и принимая во внимание ортогональность и нормировку функций УРП (16), получим

что дает интеграл (48.7).

Подобным же путем, исходя из (25) и ортогональности, можно вычислить интегралы от любой целой и положительной степени g.

X. Электрон в однородном магнитном поле

Функция Гамильтона (см. дополнение VI, формулу (6)) при сделанном нами выборе вектора-потенциала А (57.1) имеет вид

Отсюда

dpx dt

дН дх и' dt = — дН

ду

dt — — дН dz

dx дН

dt dpx

I

(2)

dy дН ру dz дН рг dt ~ дру ji ' dt ~~ dpz ~~ j-i

Следовательно,

рх = const р.?, рг = const = pj, (4)

Полагая

~ —(5)

получим

d2Y

___ = _ ©бУ, у = a sin щ1-{-Ь coso^, (7)

и, стало быть,

о

// = asin со0/ +6 cos со0/—(8)

Далее,

РЧГ = Р* + Т ^y = Pi+T ^(^inoV + 6cosco0^-^), (9)

л = — a cos со0/+ 6 sin (о0/-f-x0, (10)

т. е, движение происходит по кругу

(x-x0)*+(Ky+^J = a* + b*

с центром в x = x0t у = ~г и с радиусом R-=Ya2-\-b2. Энергия движения не зависит от — эта величина определяет положение центра круга.

Полная параллельность этого классического расчета с приведенным в § 57 квантовым очевидна.

XI. Координаты Якоби

Согласно формулам преобразования (104.3) имеем

причем

Му = 2 и» (2)

А = 1

есть масса первых / частиц. С помощью (1) и (2) находим

N N N N N

ID dxk~ ZM dh дхк ~ 2А де,- ZM дхк

k = 1 А = 1 / = 1 / = 1 /е = 1

N г I \

— V I У _u а^ I _ = /3^

~ Zj <зе/ \ L Mj "г* а*А1 j ag,v ах ' w

т. е. мы получаем формулу (104.9), приведенную в основном тексте. Сходным же образом вычисляется оператор кинетической энергии. Достаточно вычислить оператор

— ТК ДХ% L MK L L Д\.ДЪ, ДХ. ДХ. ' ^

K = 1 K=\ J = 1 /' = 1 1 ' А R

С помощью (1) и (2) находим

N Г N N N

I = K

N

U*V-L ТК L L MJMJ, DLJDLJ, -2 ^ MJDL.DL^DL^

2,i,

ML

K=\ \ J J' = K

Д2Ц>

= 1

* = 1

F L

ДЦ-> }

N F N N

L

+

M. DT;DL

Щ

2 22 "MM,, DL.DB У />/' = * 77 11

, V J_J V MK ДЦ-> J

N R N

(5)

L I ^ Ч ДЦ

Первая сумма no k в (5), как легко видеть (путем изменения порядка суммирования по k, j и у"), равна нулю. Вторая сумма преобразуется следующим образом:

/ =1K=\ 1 d2\j)

Д2$

У 1 ру ТК ДЦ ДЦ: \ У У MK ffib L MK\L М) ДЦ + DRK_J L L М) ДЩ

N — 1

N

K=i V=K

d2\b

+ 2

N— 1

OT*+i ^Ј

K= 1

2JL_ __L I V

IV— 1

/=i ; ' /=i

т. e.

A* dc^ "T \ AF; "T" my.

/ = 1

N — 1

(6)

ад

W + IV EG}'

(7)

где \IJ есть приведенная масса центра тяжести первых / частиц и (/'+1)-й

m

IV

1 =-LR + -J-. (8)

7 HI

Имея в виду, что

(9)

DY = (DX + DY + DZ)Y, из (7) получаем (104.4)

XII. Причинность и аналитические свойства рассеянной волны

Рассмотрим простейший случай, который поясняет связь между

причинностью и возможностью выхода в комплексную плоскость

Е

переменной (о = (со —частота, Е — энергия).

Предположим, что некоторое рассеянное поле yp(t) зависит от источника Q (t) согласно соотношению

+ СО

5 W (t-f)Q(t')df. (1)

-со

Изменим несколько источник в окрестности какой-либо точки /' так, что вариация

6Q(0 = e6(*-O. (2)

страница 162
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
хозблоки для временного хранения домашних вещей в москве
исландия на новорижскому шоссе
полки sheffilton купить
набор кастрюль германия

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)