химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ари-антным компонентам

Ps = gskP{k). (8)

В качестве примера рассмотрим полярную систему координат /*, б, ф. В этом случае

ds2 = dr2 + т2 dB2 + г2 sin2 8 с(ф2, gn = 1, g2, = г2, g33 = г2 sin2 8, (9)

gu=lt g22^^ ^ = ZW2sin6, (9')

гамильтониан будет равен

- Л* ГА2 . 2 A . 1 1 A / . 0 D\ . L А* Т . /1N.

я = — 2jiL^2"+ 7a7 + FШШ lsin9m) + 7*ш™д^\ + и- <10'

Найдем первую группу уравнений (операторы скорости). Согласно (7) имеем

J-IJM. g-lA.el. ff-[A.»l. (U)

Вычислим сначала первую скобку Пуассона. Для этого заметим, что

Г[дг*~т~ г дг) \дг~*~т~ г дг)Г 1 г [дг Г)' В силу этого первая скобка Пуассона (11) дает

?»?--<(*')-*"• ^2)

Для второй скобки Пуассона из перестановки

6 _L I (SIN 9 Ц - J- ifsin 9 ±\ 9 - - * 1 (KslFe)

SIN Е С>А V ^/ SIN Е АЕ\ АЕ/ К SINE AS

1 1Й А

получаем

-(KSIN8) = P<И /-2 у 5{П Б АБ

и, наконец, для третьей скобки совсем просто получается

Переходя по формуле (8) к ковариантным компонентам Рг, Ре, Рф, мы получаем на основании (9), (12), (13) и (14)

(15)

Рг = - ih (I А, рь = -*1 (уш), \

д г

Вычислим теперь вторую группу квантовых уравнений Гамильтона

ж=№- рЛ> чг=\»' Ы М- (,6)

Для этого целесообразно представить (10) в виде

где /И2 —оператор квадрата момента импульса, а Р,.-—первый из операторов (15). Несложное вычисление скобок Пуассона (16) с помощью (17) дает

dPг М2 dU dPQ _ ctg б /а2 П*\ dU

dt 2\ir3 дг ' dt \ir2 sin 6 ( ф 4 J дЪ '

dPq dU

(18)

dt дф *

Из этих трех уравнений два (для Рг и Рф) совпадают по форме с соответствующими классическими уравнениями Гамильтона.

Уравнение для Р9 вместо РФ содержит РФ—-4. Появление —

связано с существованием в квантовой механике устойчивых соА

стояний с М2 = 0, в конечном счете с нулевой энергией квантовых систем.

VIII. Требования к волновой функции

При формулировке требований к ф-функции естественней всего

А

исходить из свойств гамильтониана Я, поскольку именно этим оператором определяется физическая природа системы. Из уравнения Шредингера для г|) и нетрудно получить следующее равенство:

ld^dv = n^*Uydv-{h $ div J do, (1)

где выражение для плотности тока J совпадает с полученным в § 29. С другой стороны, условие самосопряженности для oneА

ратора Я имеет вид

$ф*Яф4и = $*фЯ*1|>* dv, (2)

VIII. ТРЕБОВАНИЯ К ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ

649

и стало быть, для того класса волновых функций, для которого оно выполнено, мы должны иметь

~ ty*tydv = — jj div J dv = — ^ JNds = 0. (3)

Обратимся сначала к случаю одного измерения — со<;л:-<оо. Имеем dv = dx, divJ = ^~. Если в некоторой точке х = хх нарушается непрерывность потенциальной энергии U (х) (скажем, она претерпевает скачок), то при интегрировании в (3) мы должны исключить эту точку. Выполняя интегрирование, получим

Jx(+°o)-Jx(x1 + 0) + Jx(x1-Q)-Jx(-°°) = 0. (4)

Плотность тока Ух(±оо) должна равняться нулю (противоположный случай означал бы, что волновые функции в бесконечности не исчезают и все интегралы были бы расходящимися); заметим, что при рассмотрении самосопряженности собственные функции г|)? операторов с непрерывным спектром L, не исчезающие в бесконечности, должны быть заменены исчезающими в бесконечности собственными дифференциалами (ср. дополнение III).

Таким образом, из (4) следует непрерывность плотности тока

Jx(xl + 0) = Jx(x1-0). (5)

Подставляя сюда значение Jх из (29.5), получим

KDX JXI + O \DX JX — O'

(6)

(Ф)*,+о = (+)*-<>, (6')

т. е. непрерывность волновой функции и ее первой производной.

Предположим теперь задачу трехмерной и положим, что в точке г = 0 оператор Гамильтона имеет особую точку. В этой точке теорема Гаусса (3) опять-таки не будет применима, и мы должны исключить ее из объема интегрирования, окружив ее сферой малого радиуса R. Тогда интеграл по поверхности в формуле (3) разобьется на два: по бесконечно удаленной поверхности, в пределе охватывающей весь объем, и по поверхности шара радиуса

lim R*\jj,dQ+ \jNds = 0, (7)

»

причем в первом интеграле мы выразили элемент поверхности

шара в виде ds = R2dQ, где dQ — элемент телесного угла. Ввиду

исчезновения в бесконечности волновых функций (пли их собственных дифференциалов) второй интеграл равен нулю. Подставки / дф* difc \

ляя в первый интеграл ^^ — щ^у^-щ—Ч>* щ) и полагая i|> = и/г

где и регулярно при /-->(), получим

что возможно лишь в том случае, если а<1. Отсюда мы видим, что волновые функции во всяком случае не могут обращаться в бесконечность быстрее, нежели 1/гг/, а<.\.

Неоднозначность в волновой функции может возникнуть в том случае, когда мы имеем дело с циклическими координатами, например с углом ф, отсчитываемым вокруг некоторой оси. Тогда угол ф и угол ф + 2л означают одно и то же положение в пространстве, поэтому вероятность ty*\\>, как величина наблюдаемая, обязана быть однозначной функцией угла ф. A priori этого нельзя сказать про саму -ф-функцию. Однако на основании свойств сферических функций и уравнения непрерывности (1) путями, сходными с изложенными в этом дополнении, можно показать, что ^-функция должна быть однозначна (иначе самосопряженность операА

тора Н не может быть обеспечена)г). Таким образом, естественные условия, предъявляемые к волновой функции на основе требования сохранения числа частиц (3), в конечном счете сводятся к требованию выполнения условия самосопряженности оператора (2).

Будут ли при этом выполнены условия самосопряженности

А

для других операторов L — будет зависеть от их природы, поскольку класс допущенных волновых функций уже определен

оператором Н и допущенными в нем нарушениями непрерывности.

IX. Решение уравнения для осциллятора

Задача о нахождении квантовых уровней осциллятора приводит к уравнению

f+ (*,-?*) ф = 0. (1)

Нам нужно найти конечные и непрерывные решения этого уравнения.

Исследуем асимптотическое поведение решения (1), т. е. для ? — ±сх>. Эти точки одновременно являются особыми точками уравнения. Для этого положим

*(|)=e/^w(g). (2)

Подставляя (2) в (1), находим

v" + 2/V + (/" + Р + * -l2)v = 0. (3)

х) Ср. В.Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, 1947, § 6.

IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА ?51

Чтобы функция е*^) явилась фактором, определяющим асимптотическое поведение yp(Q, нужно выбрать / так, чтобы коэффициент /"-f /'2 — I2 в особых точках Н = ±сх> был регулярным, т. е. чтобы член |2 уничтожался. Это дает

/ (Е) = ± 2 (4)

Стало быть, решение уравнения (1) можно представить в виде

* (В =c1e-v.Vl,1 (g) + ?ьв+'/лчь (g). (5)

Мы интересуемся конечными решениями поэтому берем частное решение с2 — 0, т. е. берем -ф в виде

*(e) = e-,/f6,w(E). (6)

Для функции и будем теперь иметь уравнение

t/'-2|i/-f (A,-l)i/ = 0. (7)

Точка | —- 0 — регулярная. Поэтому v можно искать в виде ряда Тейлора

оо

v = ? (8)

Подставляя (8) в (7) и собирая одинаковые степени |, получим рекуррентную формулу для определения к

страница 161
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
как делают влок
туалетный столик купить недорого
оформление входной группы офиса
теннисные столы в махачкале купить

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(11.12.2017)