химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

циям некоторых операторов, встречающихся в приложениях:

а) умножение на cosG = Ј или sin8 = j/"l — Н2:

*V - l/"(H-m+l)(/-m + l) 17 , (/-j-m) (/-m) .

$*lm-y (2/+l)(2/ + 3) rw-mi'|/ (2/+1)(2/-1) r ^

1/1 РУ -/ 1./"(/-m+l)(/-m + 2) y

Kl-fe ^m_|- J/ (2/+l)(2/ + 3) +

+ [/ - (2/+l)(2/-l) »

б) действие операторов проекций вращательного момента А1Л-,

MzYnn = timYlmt (32)

(УЙЛ. + Ш,) У|« = - А!/"(/-/п) + К,||Я+1> (33)

(Мл-- Ш,) = - ЛK(/ + m) (/-т+1) (34)

Доказательство этих формул приведено в специальных курсах сферических функций *).

VI. Уравнения Гамильтона

Пусть qu q2y ..., qs< ...» qf суть обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы, а ри р2, ..., р5, • • •, Р/ — соответствующие обобщенные сопряженные импульсы. Функция Гамильтона И есть функция этих координат и импульсов и, вообще говоря, времени t. Уравнения Гамильтона, как известно, имеют вид

dt dqs> dt dps' I1'

Производная по времени от любой функции F обобщенных координат, импульсов и времени будет

йЛ- д1- 4- X 4- X dLd±s т

dt dt ~^ jL dqs dt jL dps dt ' W

s=l s=l

Пользуясь уравнениями Гамильтона (1), мы можем переписать (2) в виде

+ F], (3)

dt dt

где [Н, F] равно

dqsdps dqsdp

S= 1

и называется скобкой Пуассона.

Очевидно, что сами уравнения Гамильтона (1) могут быть также записаны с помощью скобок Пуассона

%i = [Н, р.], -$ = [Н, q,]. s = 1, 2, ..., f (5)

(для этого полагаем в (3) F = ps и F = qs). Как мы увидим (§ 31), в совершенно аналогичном виде пишутся уравнения движения в квантовой механике. В частном случае декартовой системы координат и одной частицы, движущейся в поле сил, выводимых из силовой функции U (х, у, г, t), имеем

(qi = x, q2 = y, <7з=-г, Pi = pxi p2 = Pv> Pz = Pz)- На основании (5) получаем отсюда

dfr—l-"9 Рх* дх дх' dt [Л' х* дрх [i кп

и аналогичные уравнения для остальных двух координат и импульсов. Из (7) находим

d°-x dU /Q4

т. е. уравнение Ньютона.

В случае движения заряженной частицы с зарядом е и массой р в электромагнитном поле, описываемом скалярным потенциалом V и векторным А, так что

<5^ = rotA, (10)

где ^ — напряженность электрического поля, а ^ — магнитного, функция Гамильтона пишется в виде

(Г) (Г)

Докажем, что вытекающие из этой функции уравнения Гамильтона

dpx дН dp у дН dp 2 дН

dt дх ' dt ду ' dt дг

dx _дН_ dy _дН_ dz _ дН dt ~ дрх' dt dp у' dt dp 2

эквивалентны уравнениям Ньютона для той же частицы, движущейся под действием силы Лоренца:

&-{*' + Н%*'>-%*Г.)]' <8'>

е 17 е \дАк f е й \ дАу

Подставляя в (7') и (7") Я из (6') и производя дифференцирование, получим

dpx е [7 е я \ дАх . ( е л\ дАУ

dt

Из (7") получаем

57 = I {Рх ~ Т Ах)' ft = I [РУ " 7 АУ) '

*-Kp'-f4 (10,)

Из (10') следует, что

Так как значение вектора-потенциала Ах берется в точке, где находится заряд е, то полная производная по времени от Ах будет

dt dt дх dt ~^ ду dt ^ dz dt' (lZ>

Подставляя в (9') значения (^-~AVJ, |pr^j), [pz-jA, из (10') и значение из (11) и пользуясь (12), найдем

d2x е дАх dV е ~dy (дАу дАЛ dz 1дАг дА^Л

^dW = ~ Т ~W ~~е дх~^~7 [dt [~ЬТ ~~ ~ду~) dt [дх ~ ~дГ}\' * '

Отсюда на основании формул (9) и (10), связывающих поле и потенциалы, находим

^=^+Hf^-^)- <8"">

т. е. первое из уравнений (8'). Подобным же образом получаются и остальные два уравнения (8") и (8"').

Таким образом, уравнения Гамильтона (7') и (7'\ вытекающие из функции Гамильтона (6'), эквивалентны уравнениям Ньютона (8).

Потенциалы А и У могут быть выбираемы произвольно, лишь бы по (9) и (10) получалось нужное электромагнитное поле. Если мы вместо А и К возьмем

A' = A + V/, V' = V-\%, (14)

где / — произвольная функция координат и времени, то %' = Ш, д$' — с№)'. Подставляя в функцию Гамильтона (6') А' и V вместо А и V, мы, очевидно, придем к уравнению движения (13), если там под А и V понимать А' и V". Пользуясь (14), убеждаемся, что новый выбор потенциалов не меняет уравнений (8'), (8"), (8"'). Это свойство уравнений Гамильтона называют электромагнитной инвариантностью.

Заметим, что, в отличие от уравнений движения (8'), (8"), (8"'), функция Гамильтона Н меняется при преобразовании (14). Например, движение в однородном постоянном электрическом поле направленном по оси ОХ, может быть описано потенциалами А = 0, V — — Шх. Вместо этих потенциалов можно взять по (14) другие потенциалы, например, А'х = — St, A'y = A'2 — 0, К' = 0. Предоставляем читателю самому убедиться в том, что в обоих случаях мы получаем уравнение Ньютона для равноускоренного движения, но при первом выборе потенциалов функция Гамильтона имеет смысл полной энергии частицы, а при втором она равна кинетической энергии частицы.

VII. Уравнение Шредингера и уравнения движения в криволинейной системе координат

В § 27 мы объясняли причину, по которой декартова система координат в квантовой механике занимает особое положение среди всех других возможных систем: в декартовой системе координат измерение проекций импульса рХу ру, pz дает нам также значение кинетической энергии. Поэтому исходные уравнения квантовой механики пишут обычно в декартовой системе координат. Уравнение Шредингера легко может быть написано и в любой криволинейной системе координат qlt q2y q3, поскольку оно дано в декартовой системе. В этой последней оно имеет вид

ih ^{х' % Г' 0 = - J V*4> (х, уу z,t) + U (х, у, г, t) ф (х, у, г, t) (1)

(простоты ради, мы пишем уравнение для одной частицы и в отсутствие магнитного поля*). При переходе от декартовых координат к криволинейным aj; и U будут функциями от qlt q2y q3. Всё дело сводится к преобразованию оператора Лапласа V . Пусть квадрат линейного элемента ds в криволинейной системе координат q есть

з

ds = dx + dy + dz == 2 gskdqsdqk, (2)

s,k=l

где — компоненты метрического тензора. Далее, пусть D = = !1^*|| есть определитель матрицы gsk. Введем еще элементы обратной матрицы gsk, так что

gsagrxk = 6L 6*= 1, k — Sy б? = 0, к ф S. (3)

(В (3) по а суммируют от 1 до 3.)

Тогда оператор V в этих обозначениях запишется в виде )

А (?(*<"?)) (4>

(где суммировано по s и k), и соответственно этому уравнение Шредингера получает вид

^М<Уь 42, <7з, 0 = _ № 1 / д_ (D k dty(qu дъ q3t t)\\ .

dt 2ц D \dqs \ ё dqk )j "r

+ U(qi, Й2, <7з, t)tyiqu q2, q* t). (5) Оператор Гамильтона будет

J) Общий случай см. В Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, 1947.

"=-'iUis{D8Sh• (6i

VII. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕИН. СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 647

Беря скобку Пуассона

dq^ldi = [Н, qs], (7)

мы получим контрвариантную компоненту скорости dq^jdt. Умножая на массу р, мы получим такую же компоненту импульса Р(5). Чтобы получить ковариантную компоненту импульса Ps, преобразуем по формуле перехода от контрвариантных к ков

страница 160
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Unical Ellprex TX N 500
купить землю с коммуникациями рижское направление
аккумулятор для моноколеса купить в спб
лапароскопия пупочной грыжи цена

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)