химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

о, что вероятность обнаружить импульс частицы в интервале

Рх, Px + dpx\ ру% Py + dpy\ рг, p2 + dpz

должна быть пропорциональна dpxdpudpz, мы приходим к выражению для вероятности

dW(px, ру, рг, t) = \c(px, ру, рг, t)2dpxdpydpz (12.4)

и для плотности вероятности

w(px, Ру, рг, t) = \c(px, ру, pz, t)\2. (12.5)

Написанные формулы содержат определенный выбор нормировки вероятностей для импульса.

Пользуясь тем, что ср (рх, ру, pz, t) есть, согласно (11.6), компонента разложения в ряд Фурье волновой функции (х, у, z, t), нетрудно доказать, что

-{-со + оо

\ \ \\с(рх, ру, рг, t) 2dpxdpy dpz = \ \ У, г, t) \2dxdydz. (12.6)

— оо — со

Левая часть есть вероятность найти любое значение импульса частицы (достоверное событие), правая часть есть вероятность найти частицу в любом месте пространства (также достоверное событие). Поэтому сделанный выбор нормировки вероятностей целесообразен: вероятности достоверных событий одинаковы. В частности, если вероятность найти частицу в любом месте полагается равной единице, то и вероятность найти любой импульс будет также равна единице.

§ 13. Средние значения функций от координат и функций от импульсов

В предыдущих параграфах мы определили вероятность местоположения частицы (10.3) в состоянии я|э и вероятность импульса частицы (12.5) в этом же состоянии. Это позволяет нам тотчас же написать средние значения любой функции от координат частицы

F (х, у, г) и любой функции от импульса частицы F (рх, ру, рг) для состояния, изображаемого волновой функцией ф. Именно, из (10.3) и (12.5), согласно определению среднего значения случайной величины, имеем

F(x, у, z) = \F{x, у, z)\ty(x, у, z) |2 dxdy dz =

= $Ф*(*, У, z)F(x, У, z)i|>(*, У* z)dxdydz (13.1) при условии, что

у, z)\2dxdydz=\ (13.2)

и

F(Px, Ру, рг) = $ F (рх, Ру, рг) | с (рх, ру, рг) |2 dpх dpy dpz =

= \с*(рху руу pZ)F(px, руу рг)с(рх, руу p2)dpxdpydpz, (13.3) если'

\\с(рх, ру, pz)fdpxdpydpz=\ (13.4)

(здесь интегралы взяты по всей области изменения переменных х, у, z или рх, ру, р2 соответственно).

Формулы (13.1) и (13.3) допускают весьма важное преобразова* ние, основанное на свойствах интегралов Фурье. Пусть F (х, у, г) есть целая рациональная функция от л:, у, z и F (рХ1 ру, рг) — целая рациональная функция от рх, ру, рг.

Тогда формулы (13.1) и (13.3) могут быть переписаны в следующем виде *):

ЩхГуГ^)== § с* (рх, ру, pz)F(ih~, Ш~ ihJjr)x

хс(рх, ру, pz)dpxdpydpz, (13.5)

ф*(дс, у, z)Fi[-ihlx-, —ift~dj, — *'й fc-Jx

xty(x, у, z)dxdydz. (13.6)

Эти формулы означают, что аргументы функции F следует заменить символами дифференцирования по указанным аргументам, умноженным на ± ih, и выполнить операцию дифференцирования над стоящей позади функцией ф. Так, например, для вычисления среднего значения компоненты импульса рх поступаем так: F (рх, ру, Рг) = Рх- Следовательно,

*) Доказательство эквивалентности (13.1), (13.3) и (13.5), (13.6) соответственно приведено в дополнении I.

Рх=\с*[рх% ру, Рг)рхс(Рх> Ру, pz)dpxdpydpz, (13.7)

§ 141

СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

59

или по формуле (13.6), заменяя рх на

рх = — jji|>*(*, У, г) ill

dtyjx, у, z) дх

(13.8)

Подобным же образом среднее значение рх можно вычислить или по формуле (13.3)

pi = \ с* (рх, ру, рг) pic (рх, ру, рг) dpx dp у dp,, (13.9) или по формуле (13.6), заменяя F(px) = px на

Рх= — й2 \ V (х, у, г)

dx dy dz.

(13.11)

§ 14. Статистические ансамбли квантовой механики

В практической деятельности физика или инженера встречаются два важных типа задач, на которые должна ответить квантовая механика.

Первая задача такова: по волновой функции предсказать возможные результаты измерений над микрочастицей («прямая» задача). Второй тип задачи: по результатам опыта определить волновую функцию частицы («обратная задача»).

Предсказания, вытекающие из знания волновой функции, в общем случае, носят статистический характер. Поэтому если производится какое-то единичное измерение, то результат этого измерения показывает нам лишь, в какой мере оправдались наши ожидания: произошло ли вероятное или маловероятное событие.

Вполне объективный характер носят лишь распределения результатов измерения, возникающие при повторении большого числа тождественных опытов.

Существенно, что в квантовой области мы не можем повторять опыт на одной и той же частице, так как измерение, вообще говоря, может изменить состояние микрочастиц (§ 16).

Поэтому для воспроизведения большого числа (N ^> 1) тождественных опытов необходимо представить себе большое число частиц (или систем), которые независимо друг от друга находятся в одинаковых макроскопических условиях.

Такой набор микрочастиц (или систем) мы будем называть квантовым ансамблем частиц (или просто а н-с а м б л е м).

Если эти макроскопические условия таковы, что они полностью определяют состояние микрочастиц (см. § 28, где дано понятие

полного набора величин, необходимых для определения этого состояния), то состояние таких частиц может быть охарактеризовано одной волновой функцией.

Сам ансамбль в этом случае называют чистым ансамблем.

Все вероятности и все средние значения, вычисляемые из волновой функции, относятся к измерениям в таком ансамбле.

Так, например, утверждение, что вероятность найти координату частицы х, лежащей около х', равна | ф (х) \2 dx'\означает,что, производя большое число измерений координаты в серии одинаковых опытов (одно и то же ф!), мы найдем х около х в N' случаях, причем

^=\y(x')?dx'. (14.1)

Подобным же образом, измеряя в этом ансамбле импульс частиц рх и производя всего М измерений (М J> 1), мы найдем р'х в АГ случаях, причем

Tf=- \с(рх) 2 dpi (14.2)

где с (рх) есть амплитуда в разложении г|э (х) по волнам де Бройля (ср. § 12).

Зная распределение результатов измерений для А' (14.1) и дтя рх (14.2), мы можем вычислить средние значения любых функций

F (х), Ф (/?), например, среднее значение х, среднее значение рх, средние квадратичные отклонения

(Ах)2^(х-х)2 (14.3)

и

W7)2^(Px~px)2 (14.4)

и т. п.

Впоследствии мы покажем, что, зная волновую функцию ф, можно вычислить вероятности не только для х и рх, но и вообще найти вероятности для того или иного результата измерения любой механической величины, свойственной данной частице или системе.

Совершенно ясно, что из единичного измерения над одной микрочастицей невозможно определить ее волновую функцию. Зная же распределения результатов измерения в ансамбле, можно решить и обратную задачу: восстановить по результатам измерения волновую функцию частицы (конечно, вплоть до общего нормирующего множителя, который всегда остается неопределенным) (§ 79).

Таким образом, не только предсказания квантовой механики относятся к измерениям в квантовом ансамбле, но и, обратно, характер квантового ансамбля может быть определен из измерений.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

61

Поэтому состояние частицы (или системы), характеризуемое волновой функцией, следует понимать как принадлежность частицы (или систе

страница 16
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
В КНС всегда выгодно Apple Mac Pro MD878RU-A в Москве и более чем в 100 городах России.
знак категория пожароопасности помещения
урна пепельница для помещений
интерьер домашнего кинотеатра в загородном доме

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(27.04.2017)