химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ерез tyn (х). Тогда имеем

L% = Ln%f Щп = М1$п. (1)

Действуя на первое уравнение оператором УЙ, а на второе one-ратором L и вычитая один результат из другого, получим

MLtyn = LnMntyn, Lmn = LnMn%, (ML-LM)% = 0. (2)

n

Так как любую функцию можно разложить по функциям фя, то мы имеем

я А А. Л. Л %> _ _ j А А А А ^,

(ML - LM)

т. е., применяя оператор ML — LM к любой функции, мы получаем нуль. На языке операторов это означает коммутативность операторов

Л А А. Л.

ML — LM = 0. (4)

А А

Покажем теперь, что если операторы L и М коммутируют, то они имеют общие собственные функции. Уравнение для собственных функций оператора L будет

2л|> = Ь|>. (5)

А А А

Действуя на это уравнение оператором М и меняя порядок ML на LM, мы получаем

1(Щ)=Ь(Щ). (6)

Отсюда следует, что ф' = УЙг|э есть также собственная функция

оператора L, принадлежащая собственному значению L. Если вырождение отсутствует, то значению L принадлежит лишь одна функция, а, стало быть, г|/ может отличаться от ф лишь постоянным множителем, т. е. г|/=Л11|>. Таким образом,

Щ = МУ\\ (7)

откуда следует, что ф есть также собственная функция оператора М. В случае наличия вырождения ф' может быть линейной комбинацией функций фй (?=1, 2, /), принадлежащих собственному значению L:

f

ф'-А%= 2 Mkk>b; Ь=1, 2, .... /. (8)

k'=i

Однако вместо функций можно взять их линейные комбинации (см. дополнение II)

f

Ф = 2 М>ь (9)

причем afc могут быть выбраны так, что новые функции ф будут

л

собственными функциями оператора М:

УЙф = Мф. (10)

Подставляя сюда ф из (9) и пользуясь (8), найдем путем сравнения коэффициентов при tyk

f

2 Mkk-ak- = Mak% k--=\, 2, f. (11)

Это —система однородных алгебраических уравнений для определения коэффициентов ak. Она имеет решение лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю:

Мц — М М12 ... Mif М.п Мгг—М ... M2f

мп ... мп-м

0. (12)

Из этого уравнения найдем корни Мъ М2, Mf. Для каждогс из этих корней (Ма) получим свое решение уравнений (II) ааХ, ^А2» • • •» #а/ и> следовательно, согласно (9), свою функцию ф:

f

Фа =2^0***. (13

ft — 1

Новые функции фа (а=1, 2, /), будучи линейными ком бинациями будут собственными функциями оператора L, при надлежащими значению L, а вместе с тем и собственными функ

циями оператора М, принадлежащими значениям М=МХ, М2, ., ..., Ма, ..., М/, соответственно.

V. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ YLM (6, ip) 639

V. Сферические функции Yim(0> <р)

В проблеме нахождения собственных значений оператора

момента импульса /И2 мы встречаемся с уравнением для сферических функций (25.14):

sin б дЬ \ об J 1 sin- б дф2 1 т v 1

Нам нужно найти собственные функции этого уравнения (т. е. непрерывные, однозначные и конечные решения во всей области изменения переменных 0 <с 6 ^ л, 0 ^ ср ^ 2л).

Разделим прежде всего переменные б и ф. Для этого положим

ф=:0(8)-Ф(ф). (2)

Подстановка (2) в (1) приводит к разделению переменных, если положить

Отсюда

Фт(ф) = е'я,ф. (4)

Чтобы Фт была однозначной функцией ф, необходимо, чтобы т было целым числом

m = 0, ± 1, ±2, ... (5)

Подставляя (4) в (1) и деля на Фт, получим уравнение для 0:

4^ 4 (sin б О?-) - 0 + Лв = 0. (6)

sm 8 дб \ дЬ J sin2 о 1 4 '

Введем вместо 8 новую переменную

g = cos в, — dЈ = —sinede (7)

и будем рассматривать 0 как функцию \. Тогда из (6) получается

(1 - ?2) 0" - 2?0' + (л- ^L) 0-0. (8)

Рассмотрим поведение решения 0 вблизи особых точек уравнения 6=±1. Обратимся сначала к точке | = + 1. Введем переменную 2 = g—1. Тогда из (8) получаем

G" + ^e'-[^ + ^]0 = °- (9)

Будем искать 0 в виде ряда по степеням z:

0 = 2Yy, v = я0 + fli* + <Н*г -V • • • + 0\ZV + • • • (10)

Нам нужно сперва определить степень у, с которой начинается ряд. При г->-0

Подставляя это решение в (9) и пренебрегая бесконечно малыми меньшего порядка, нежели zy~2, мы получим из (9)

2"

[7(V-1) + Y-TJUO^2 = 0-откуда

Y = ±f- (Н)

То же значение у получается для разложения вблизи особой точки ? =—1. Чтобы решение оставалось конечным при | = =Ы, нужно в (10) взять

V = ^, (12)

/72 171

т. е. для т>0 у = -9-, для т<0 у--- — у. Второе решение (11)

обращается в бесконечность. Таким образом, мы можем взять G в виде

0 = (1 -l2)~v, (13)

где V — ряд по степеням г. Нам теперь удобнее взять v в виде ряда по ?:

со

v = 2 6vSv- (14)

Подставляя (13) в (8), получим

(1 ~-l2)v"-2(\m\-\-l)lv'-\-(K-\m\-m2)v = 0. (15)

Внося сюда ряд (14) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях |, мы получаем рекуррентную формулу для определения коэффициентов bv:

(v + 2) (v + 1) bv+2 = [v (v - 1) + 2 (I m \ + 1) v - Я +1 m \ +m2] bv. (16)

Если ряд (14) оборвется на каком-то члене номера v = &, то v будет многочленом k-и степени, и, следовательно, (13) будет конечным, непрерывным и однозначным решением, т. е. собственной функцией уравнения (1). Из (16) следует, что ряд может оборваться лишь в том случае, если

k(k- l)-f 2(|m[ + 1) &-л.-Ит| + т2 = 0,

т. е.

b = (k + \m\)(k+\m\+\). (17)

V. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ YLM (б, ср)

641

Полагая

k + \m\ = l, (18)

мы получаем

Я = /(/+1). / = 0, 1, 2, 3, (19)

|m| = 0, 1, 2, /. (20)

Можно доказать, что никаких других собственных функций уравнения (1) не существует ).

Решение в, принадлежащее характеристическим числам / и /л, мы обозначим через

в(1) = Р[т](1), g = cos в. (21)

Если уравнение (15) дифференцировать по g, то получается уравнение, в котором | m | заменяется на |т|+1. Поэтому если решение для т = 0 обозначать через то

I т

\ т'

РГ'(У = (1-5 ) ^тГPi (22)

Pi(I) есть многочлен степени / и называется многочленом (или полиномом) Лежандра. Коэффициент при нем обычно нормируется так, что

Л(1)=1. (23)

Из (16) при | /и | = 0 получаем

у(у+1)-/(/+1)

°v+2- (v_b2)(v+l) °v' W

Отсюда мы видим, что если взять b0^-0, fri = 0, то многочлен Pi будет содержать лишь четные степени |, если же Ь0 = 0, &iҐ=0» то только нечетные. Выбирая Ь0 (при четном /) или Ь± (при нечетном /) так, чтобы соблюдалось (23), мы можем вычислить все коэффициенты в многочлене Я/. Можно проверить, что получающийся многочлен может быть представлен формулой

/>?(!) = ^©=27^!,(r-l)'. (25)

Имея в виду (2), (4) и (21), мы получаем собственную функцию уравнения (1) в виде

Ylm(B, у) =NlmP\ml (cos Щ (26)

где Af//n —нормировочный множитель. Вычисление этого нормировочного множителя, которое мы опускаем ), приводит к

значению

К Функции (26) образуют полную систему ортогональных функций на поверхности сферы О, ф. Поэтому любая интегрируемая квадратично и однозначная функция ф(9, ф) может быть представлена в виде ряда

со +/

* (9> Ф) = 2 2 ЪтУш (В, Ф), (28)

/ = 0 т — — 1

где

я 2л

= \ \ Ф (9. Ф) У/m (б, Ф) sin G d8 Жр. (29)

о о

В заключение приведем результаты применения к сферическим функ

страница 159
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
исковое заявление о возмещении материального ущерба работником образец
ремонт холодильника Zanussi ZRB 34214 WA
купить брелок для сигнализации аллигатор
заказ такси микроавтобуса в москве

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(03.12.2016)