химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

-таки тривиально.

II. Собственные функции в случае вырождения

Собственные функции ^пк (&—1, 2, /), принадлежащие собственному значению LIU линейно независимы, т. е. между ними не существует соотношений вида

F

= 0, (!)

А = i

где ak — некоторые постоянные. Если бы такие соотношения существовали, то они означали бы, что одна или несколько функций

II. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В СЛУЧАЕ ВЫРОЖДЕНИЯ 633

выражаются через другие, т. е. фактическое число различных собственных функций, принадлежащих L„, было бы не /, а меньше. •Если функции tynk не ортогональны между собой, то мы можем ввести новые функции, получающиеся из г|эяЛ линейным преобразованием

Фяа=2лаАь а=1, 2, /• (2)

В силу линейности уравнения для собственных функций функции

л.

Фла будут опять-таки собственными функциями оператора L и принадлежащими собственному значению Ln. Из условия ортогональности функций фла:

f f

k=\ k' = l

следуют условия для определения коэффициентов aak:

где

(3)

(4) (5)

Возможность найти коэффициенты aak, удовлетворяющие условиям (4), следует из геометрической аналогии. Будем рассматривать функции г|э„л как единичные векторы jk в пространстве / измерений, a skk> — как скалярные произведения {jkt /V). Тогда (2) можно рассматривать как преобразование в пространстве / измерений от косоугольной системы координат к прямоугольной1). Отсюда ясно, что преобразование (2) — не единственное: получив ортогональную систему координат, мы можем ее еще вращать любым образом.

Так, например, если функции 1|)Л уже ортогональны, то skk' = = 8kk>, и из (4) тогда следует

f

2 «aftap = Sa|3. (6)

k= i

Это и есть условия для коэффициентов ортогонального преобразования системы ортогональных функций tynk в новую систему опять-таки ортогональных функций ф,а. Таким образом, собственные функции, принадлежащие одному собственному значению Lny определяются лишь с «точностью» до ортогонального преобразования вида (2) с коэффициентами, подчиняющимися условию (6).

III. Ортогональность и нормировка собственных функций непрерывного спектра. 6-функция

Проинтегрируем уравнение для собственных функций

Jty(*f L) = Lt|>(*, L) (1)

по L в малом интервале AL. Мы получим

1Аф L) = J 1ф (*, L) dL, (2)

где

Аф L) = J ф (X, L) dL. (3)

Эту величину называют собственным дифференциаА

лом (оператора L). Примером такого собственного дифференциала является рассмотренная в § 7 группа волн. Мы докажем, что не сами функции, а собственные дифференциалы являются ортогональными и могут быть нормированы. Для этого проинтегрируем подобным же образом сопряженное уравнение

?*ф (.v, L') = L'H>* (*, L') (4)

по L'; мы найдем

?*Аф* (*, L') = J L'i|?* (*, V) dL'. (5)

Умножим (2) на Дф* (х, L'), а (5) на Дт|)(х, L), вычтем один результат из другого и проинтегрируем по Тогда получим

J dx {Дф* (*, L') /Аф (х, L) - Дф (*, L) ?*Дф* (*, L')} =

= \ dx \ dL \ dU (L - L') я|>* (х, V) ф (*, L). (6)

Левая часть равна нулю в силу самосопряженности оператора 1, а справа при малых AL и AL' мы можем вынести L — U за знак интеграла.

Тогда получим

(L - U) \ dx Дф* (х, L') Дф (л:, L) = 0. (7)

Если интервалы AL и AL' не перекрываются, то L^L'. Отсюда следует

5 Дф* (*, L') Дф (A:, L) = 0, (8)

т. е. ортогональность собственных дифференциалов. Если AL и AL' совпадают, то интеграл (8) не равен нулю. Нетрудно покаIII. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 635

зать, что он будет первого порядка малости относительно AL. В самом деле, интеграл

l = \dx Дг|>* (*f L) (х, L) (9)

можно заменить интегралом

и

/' - $ dx Аф* (*, I) ^ ф (х, I) dL, (10)

причем и L2 выбраны так, что участок (L, L-f-AL) лежит внутри участка (Llt L2). В силу ортогональности собственных дифференциалов интеграл по участкам (Lb L) и (L-f AL, L2) ничего не добавит к интегралу (9). Поэтому (9) и (10) равны. Но при AL->0 (10) стремится к 0 как AL. Поэтому, выбирая подходящий нормировочный множитель, можно всегда сделать так, чтобы

AL-+0 аи

т. е.

\dxb$*ixt 1)Дф(*. L) = AL (11)

при AL-4-0.

Формулы (8) -и (11) можно объединить в одну, выражающую нормировку и ортогональность собственных дифференциалов:

J dx Aij?* (х, L') Дф (х, L) = AL или 0, (12)

в зависимости от того, совпадают интервалы L, L + AL и L', L' + AL или нет. Освобождаясь от одного интегрирования (по dL) в (12), мы можем написать (12) в виде

J dx Аф* (х, L') ф (х, L) = 1 или 0, (12')

смотря по тому, попадает ли точка L' = LB интервал L',L'-j-AL или нет. Условие ортогональности и нормировки (12) или (12') может быть с помощью особого символа сформулировано для самих функций. Для этого поменяем .в (12') порядок интегрирования по х и dL':

V + AL

\ dL'\\p(х, L)ф* (*, U) dx = 1 или 0. (13)

L

Введем обозначение

L)dx = 6(L'-L). (14)

Тогда из (13) следует

L' + AL

5 dL'6(L'-L) = l или 0, (15)

смотря по тому, попадает ли точка L' = L в интервал L', Z/ + AL или нет. Это последнее равенство мы будем рассматривать как определение символа 6(L' —L), называемого б-функцией или функцией Дирака (на самом деле это не функция, а просто обозначение).

Из (15) следует ((21.11)), что

ъ

\ f (L') б (U — L) dL' = f (L) или 0, (16)

а

смотря по тому, попадает ли точка L' = L в интервал (а, Ь) или нет. Для доказательства (16) достаточно разбить интервал (а, Ь\ на столь малые участки, чтобы в каждом из них можно было вынести функцию f (U) за знак интеграла (для этого она должна быть гладкой). Во всех участках результат интеграции в силу (15) будет равен нулю, кроме, однако, как угодно малого, содержащего точку L' = L. В этом участке интервал от б, согласно (15), будет равен 1.

Вместо того чтобы говорить о нормировке и ортогональности собственных дифференциалов (12), мы будем говорить, что собственные функции нормированы к б-функции (14).

В качестве примера приведем нормировку собственных функА

ций оператора импульса Рх. Эти функции суть

%Jx)=Np/-^, (17)

где Npx — искомый нормирующий множитель, могущий a priori зависеть от рх. Образуем интеграл (14):

№mPx{*)dx = Nl>J!Px \ е * ~dx =

-со

^NPNp П Пт [ е h ~

Х х m-*oo J П

т-*оо

—пг

?fm Хрх — Рх)х

„ . (Р'х~Рх)т

2 sin —

= N^NPH lim \ . (18)

г, гг ,. 1 sin mz ^

Сравнивая это с множителем Дирихле lim , обладат-+оо Л z

ющим свойством б-функции от z (см. дополнение I, формулу (1)), мы находим, что

$ W Ьх № ^ = N*p>xNp2nm (рх - рх). (19)

IV. ЗНАЧЕНИЕ КОММУТАТИВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ 637

Отсюда определяем нормирующий множитель

Np 22л/г=1, Np =(2лП)-1/> (20)

(разумеется, еще можно было бы включить фазовый множитель el*(px)t где ф —действительная функция, однако в этом нет никакой надобности).

IV. Значение коммутативности операторов

Докажем теорему: если два оператора L и М имеют общую полную систему собственных функций, то они коммутируют. Обозначим общие собственные функции, ч

страница 158
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
фбс 24
сколько стоит выпрямить дверь у машины
купить спортивный костюм в красноярске
недоросльru билеты

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(19.08.2017)